[論文レビュー] The Tate conjecture over finite fields (AIM talk)

J. S. Milne|ArXiv.org|Sep 19, 2007

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 43被引用数 19

ひとこと要約

本稿は、有限体上のTate予想についての包括的レビューと研究展望を提示する。エタールコホロロジーにおけるTate類の構造と代数的サイクルとの関係に焦点を当て、すべてのフロベニウス写像に対して不変な有理 Tate 類—すなわち、すべてのフロベニウス写像に対して不変な類—が代数的であると提唱し、特にCMアーベル多様体においてこの主張を示せば、弱有理化予想が導かれる。これにより、Tate予想がホッジ予想および標準予想と結びつくことが示唆される。

ABSTRACT

These are my notes for a talk at the The Tate Conjecture workshop at the American Institute of Mathematics in Palo Alto, CA, July 23--July 27, 2007, somewhat revised and expanded. The intent of the talk was to review what is known and to suggest directions for research. v2: Revised expanded (24 pages).

研究の動機と目的

• 有限体上のTate予想の現状をレビューし、今後の研究における未解決問題を特定すること。
• 特にCMアーベル多様体およびウェイユ類の文脈において、Tate類の有理化を調査すること。
• Tate予想がホッジ標準予想およびホッジ予想に与える影響を検討すること。
• コホロロジー的構造におけるフロベニウス作用と半単純性の役割を検討すること。
• 有理 Tate 類を通じて、Tate予想、ホッジ予想、および標準予想の間の関係を確立すること。

提案手法

• ℓ-進係数を用いたエタールコホロロジーの枠組みを用い、H^{2r}(X, ℚ_ℓ(r))′ におけるガロア不変なコホロロジー類としてTate類を定義する。
• サイクル類写像を適用し、代数的サイクルとコホロロジー類との関係を調べ、Z^r(X) の c^r による像に注目する。
• すべてのフロベニウス写像に対して不変な類として有理 Tate 類を導入し、その代数的性を検討する。
• 余次元に関する帰納法とLefschetz分解を用いて、有理化予想を低次元の場合に還元する。
• CMアーベル多様体に関するDeligneおよびAndréの結果を活用し、ホッジ類を分解可能なウェイユ類の逆像に還元する。
• 特にヘルミート形式が分解可能となる極化の下で、ウェイユ型アーベル多様体上のウェイユ類の構造を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 CMアーベル多様体上では、どのような条件下で有理 Tate 類が代数的となるか。
• RQ2 Deligne (1982) および André (2006) のアーベル多様体の族を用いて、分解可能なウェイユ類の弱有理化予想を証明できるか。
• RQ3 良好な有理 Tate 類の理論の存在が、すべての多様体におけるTate予想を示唆するか。
• RQ4 コホロロジー上でのフロベニウス作用の半単純性が、Tate予想をどの程度支持するか。
• RQ5 有限体上でのTate予想、ホッジ予想、標準予想はどのように関係し合い、一方が他方を含意するか。

主な発見

• 有限体上のTate予想は、H^{2r}(X, ℚ_ℓ(r))′ におけるすべてのガロア不変コホロロジー類が代数的であるという主張と同値である。
• 有限体上のアーベル多様体では、すべてのコホロロジー群においてフロベニウスが半単純に作用するため、予想 S(X) を支持する。
• CMアーベル多様体における有理化予想は、あるサイクルのリフト問題（質問10.4）が正の解を持つ場合に従って導かれる。
• CMアーベル多様体上の分解可能なウェイユ類の弱有理化予想は、質問10.6に肯定的解答がある場合に導かれる。
• 有限体上のアーベル多様体におけるホッジ標準予想は、CM多様体のホッジ予想とTate予想から導かれる。
• ホッジ予想がCM多様体に対して成り立つという仮定の下で、ホッジ、Tate、標準の三つの予想は、本稿で示された含意関係を通じて一つのものに還元される。