[論文レビュー] The tautological rings of the moduli spaces of stable maps

Dragos Oprea|arXiv (Cornell University)|Apr 15, 2004

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 24被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、$SL$ フラッグ多様体への genus 0 の安定写像のモジュライ空間におけるすべての有理コホモロジー類がトロイタルであることを証明し、安定曲線の Keel の定理を Gromov-Witten 理論へと拡張する。評価写像、$\tau$-類、忘却および接続の同型写像による押し出しによって構成されるトロイタル類を用いて、著者らは、全有理コホモロジーがこれらのトロイタル類によって生成されることを確立し、Gromov-Witten 不変量がこれらの空間の交線論を完全に捉えていることを示している。

ABSTRACT

We show that the rational cohomology of the genus zero stable map spaces to SL flag varieties is entirely tautological.

研究の動機と目的

• 安定曲線のモジュライ空間のトロイタルコホモロジーに関する Keel の定理を、$SL$ フラッグ多様体への genus 0 の安定写像に拡張すること。
• $X = G/P$ がフラッグ多様体であるとき、Kontsevich のモジュライ空間 $\overline{\mathcal{M}}_{0,n}(X,\beta)$ のトロイタル環が、全有理コホモロジーを生成することを確立すること。
• すべての有理コホモロジー類がトロイタルであることを示すことにより、Gromov-Witten 不変量がこれらのモジュライ空間の完全な交線論を記述することを証明すること。

提案手法

• 忘却および接続の同型写像による押し出しに関して閉じており、ターゲットのフラッグ多様体 $X$ からのコホモロジー類の引き戻しに関して閉じている最小の系として、トロイタル環 $R^\star(\overline{\mathcal{M}}(\Gamma))$ を定義する。
• 評価写像 $ev_i^*\alpha$（$\alpha \in H^\star(X)$）による類の構成、忘却による押し出しによる $\kappa$-類の構成、および余接線束からの $\psi$-類の構成を行う。
• 過剰交線公式を用いて、異なる双対グラフのストラトゥム $\overline{\mathcal{M}}(\Gamma)$ に支持されるトロイタル類の積を計算し、過剰正規バンドルが $\psi$-類の和に分解されることを示す。
• 射影公式と Gysin 写像の平坦な引き戻しとの整合性を用いて、$\psi$-類と $\kappa$-類がトロイタル系を保存することを示す。
• マークの数に関する帰納法を用い、クラスを $\mathcal{S}^p$ に還元することで、トロイタル系がすべての操作に関して閉じていることを証明する。
• 一般のフラッグ多様体の場合を、埋め込み $i: X \hookrightarrow \mathbb{P}^r$ を用いて $\mathbb{P}^r$ の場合に還元し、Pandharipande よりの結果および Maulik-Okounkov の結果を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 X が $SL$ フラッグ多様体であるとき、$\overline{\mathcal{M}}_{0,n}(X,\beta)$ 上のすべての有理コホモロジー類はトロイタルか？
• RQ2 フラッグ多様体への genus 0 の安定写像のモジュライ空間のトロイタル環は、評価類、$\kappa$-類、$\psi$-類によって生成可能か？
• RQ3 Gromov-Witten 不変量は、これらのモジュライ空間の完全な交線論をどの程度まで決定づけられるか？
• RQ4 一般のフラッグ多様体に対して、トロイタル系は忘却による押し出し、接続の同型写像、評価の引き戻しに関して閉じているか？
• RQ5 $\mathbb{P}^r$ の結果は、埋め込みと基底変換を用いて任意のフラッグ多様体へと拡張可能か？

主な発見

• X が $SL$ フラッグ多様体であるとき、$\overline{\mathcal{M}}_{0,n}(X,\beta}$ 上のすべての有理コホモロジー類はトロイタルである。これは、安定曲線から Gromov-Witten 理論への Keel の結果の一般化である。
• トロイタル環は、忘却による押し出しおよび接続の同型写像に関して閉じており、自然な幾何的作用に関して体系が良好に保たれていることが保証される。
• トロイタル類の積は過剰交線公式を用いて計算され、過剰正規バンドルが双対グラフからの $\psi$-類の積として表現される。
• $\psi$-類の作用は、射影公式および Gysin 写像との整合性により、トロイタル系を保存することが示された。
• 一般のフラッグ多様体の場合は、射影的埋め込みを用いて $\mathbb{P}^r$ の場合に還元され、基底変換およびその設定での既知の結果により、結果が成り立つ。
• 仮想基本クラスは直ちにトロイタルではないが、トロイタル系との相互作用は制御可能であり、全コホモロジーがトロイタルであることが確認された。