[論文レビュー] The Taylor expansion of Ruelle L-function at the origin and the Borel regulator

Ken‐ichi Sugiyama|ArXiv.org|Apr 17, 2008

Analytic Number Theory Research参考文献 10被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、有限体積の奇数次元双曲多様体上のカスプ的ユニタリ局所系のルイユL関数に対して、関数方程式およびリーマン型の仮説を確立する。原点におけるローラン展開を計算し、2番目の係数が、カスプ寄与を除いて体積の有理数倍であることを示し、次元3における主要係数がK理論的要素の周期として特定され、ボレルレギュレーターおよび$L^2$- torsionと、チエーガー＝ミュラーの定理を介して関連づけられる。

ABSTRACT

We will prove that Ruelle L-function for a cuspidal local system on an odd dimensional hyperbolic manifold with finite volume satisfies a functional equation and an analog of the Riemann hypothesis. We will also compute its Laurent expansion at the origin and will prove that the second coefficient coincides with a rational multiple of the volume up to a certain contribution from cusps. Moreover if the dimension is three we will identify the leading coefficient. Both of them will be intepreted by the Borel regulator in algebraic K-theory. Also a relation with the L^2-torsion will be discussed.

研究の動機と目的

• 奇数次元の有限体積双曲多様体上のルイユL関数に対して、関数方程式およびリーマン仮説の類似を確立すること。
• ルイユL関数の原点におけるローラン展開を計算し、2番目の係数が体積の有理数倍（カスプ寄与を除く）であることを特定すること。
• 次元3におけるテイラー展開の主要係数を特定し、それがK理論的要素の周期として解釈できることを示すこと。
• チエーガー＝ミュラーの定理を用いて、ルイユL関数の特殊値を$L^2$- torsionおよびボレルレギュレーターと関連づけること。

提案手法

• 双曲多様体上のラプラシアンのスペクトル理論とセルバーグのトレース公式を用いて、ルイユL関数の解析接続および関数方程式を分析する。
• 熱核展開へのメリン変換を適用し、ルイユL関数に関連するゼータ関数を研究し、特殊値を抽出する。
• チエーガー＝ミュラーの定理を用いて、解析 torsion（レイ＝シンガー torsion）を、ルイユL関数の原点における対数微分と関連づける。
• $K_{2l-1}(\field{C})$ 上のボレルレギュレーター写像を定義・計算し、テイラー展開の主要係数をレギュレーター周期として解釈する。
• ルイユL関数の対数微分の振る舞いを分析し、対称性の性質を導出し、臨界帯における零点および極の位置を特定する。
• エプスタインゼータ関数およびカスプ寄与を用いて、定数$\delta(X,\rho)$を定義し、関数方程式および係数構造における体積項の修正に寄与させる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 奇数次元の有限体積双曲多様体上に存在するカスプ的ユニタリ局所系に対するルイユL関数は、関数方程式およびリーマン仮説の類似を満たすか？
• RQ2 ルイユL関数の原点におけるローラン展開の正確な構造は何か？ 係数は体積やカスプ寄与といった幾何的不変量とどのように関係するか？
• RQ3 次元3において、テイラー展開の主要係数がK理論的要素の周期として特定可能か？ また、ボレルレギュレーターとどのように関係するか？
• RQ4 多様体の$L^2$- torsionは、チエーガー＝ミュラーの定理を介して、ルイユL関数の特殊値とどのように関連するか？
• RQ5 カスプにおけるエプスタインゼータ関数から定義される定数$\delta(X,\rho)$は、関数方程式および係数構造の修正に果たす役割は何か？

主な発見

• ルイユL関数は、$ Y(z) $が原点で消える有理係数多項式であるとして、$ R_X(z,\rho) \cdot R_X(-z,\rho)^{-1} = \exp\left[\frac{\operatorname{vol}(X)}{\pi} Y(z) + 4\sum_{j=0}^{n}(-1)^j \delta(X,\rho) z \right] $ の形の関数方程式を満たす。
• 原点におけるローラン展開の2番目の係数$c_1$は、$ c_1 - 2\sum_{j=0}^{n}(-1)^j \delta(X,\rho) = \text{有理数倍の} \frac{\operatorname{vol}(X)}{\pi} $ を満たし、次元3では等式$ c_1 = -3r \frac{\operatorname{vol}(X)}{\pi} $ が成り立つ。
• 次元3において、テイラー展開の主要係数は、$ K_1(\mathbb{C}) $ 内の特定の要素の周期として特定され、ボレルレギュレーター周期として解釈される。
• $ L^2 $- torsionは、特殊値$ \zeta_X'(0,\rho) $、すなわちルイユL関数の原点における対数微分に等しく、熱核のメリン変換を用いて表現される。
• 定数$ \delta(X,\rho) $はカスプにおけるエプスタインゼータ関数から生じ、関数方程式および係数展開における体積項の修正に寄与する。
• 関数$ R_X(z,\rho) $ の原点におけるテイラー展開の主要項は$ \exp(-\zeta_X'(0,\rho)) $ であり、解析 torsionとルイユL関数の原点における振る舞いを結びつける。