[論文レビュー] The Taylor Interpolation through FFT Algorithm for Electromagnetic Wave Propagation and Scattering

Shaolin Liao|ArXiv.org|Oct 10, 2006

Electromagnetic Simulation and Numerical Methods参考文献 8被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、準平面的幾何構造における効率的な電磁波の伝播および散乱を実現するため、FFTを用いたテイラー補間（TI-FFT）アルゴリズムを提案する。空間的またはスペクトル的領域におけるテイラー級数展開とFFTベースの補間を組み合わせることで、計算量が最適化された $ olimits_{r}^{ ext{opt}} olimits_{o}^{ ext{opt}} olimits(N\log_2 N)$ となる。ここで $ olimits_{o}^{ ext{opt}} \sim -\ln\gamma_{\text{TI}}$ および $ olimits^{ ext{opt}} \sim \frac{1}{17}\lambda_c$ であり、狭帯域ビームに対して低サンプリングレートと特異性のない計算を実現する。

ABSTRACT

The Taylor Interpolation through FFT (TI-FFT) algorithm for the computation of the electromagnetic wave propagation in the quasi-planar geometry within the half-space is proposed in this article. There are two types of TI-FFT algorithm, i.e., the spatial TI-FFT and the spectral TI-FFT. The former works in the spatial domain and the latter works in the spectral domain. It has been shown that the optimized computational complexity is the same for both types of TI-FFT algorithm, which is N_r^{opt} N_o^{opt} O (N log_2 N) for an N = N_x imes N_y computational grid, where N_r^{opt} is the optimized number of slicing reference planes and N_o^{opt} is the optimized order of Taylor series. Detailed analysis shows that N_o^{opt} is closely related to the algorithm's computational accuracy γ_{TI}, which is given as N_o^{opt} ~ - ln(γ_{TI}) and the optimized spatial slicing spacing between two adjacent spatial reference planes δ_z^{opt} only depends on the characteristic wavelength λ_c of the electromagnetic wave, which is given as δ_z^{opt} ~ 1/17 λ_c. The planar TI-FFT algorithm allows a large sampling spacing required by the sampling theorem. What's more, the algorithm is free of singularities and it works particularly well for the narrow-band beam and the quasi-planar geometry.

研究の動機と目的

• 大規模な電磁波伝播問題に対して直接積分法を適用すると計算量が $\mathcal{O}(N^2)$ に比例するため、その高い計算コストを低減すること。
• 直接FFTを適用できない準平面的構造にまで、FFTに基づく手法の適用範囲を拡張すること。
• 近場および遠場のEM波計算に特化した、計算効率的かつ高精度なアルゴリズムの開発。特にビーム形状調整および散乱応用に焦点を当てる。
• 計算複雑度を最小限に抑えつつ所望の精度を維持するため、テイラー級数の次数と空間スライス間隔を最適化すること。

提案手法

• 空間TI-FFT（準平面的表面での場の計算に適したバージョン）とスペクトルTI-FFT（EM場の2次元フーリエスペクトルの計算に適したバージョン）の2つのバリエーションを提案。
• グリーン関数のテイラー級数展開を用いて、空間的基準平面間の場の値を補間し、非均等またはグリッド上にない点に対しても補間を可能にする。
• スペクトル領域を活用し、グリーン関数の2次元フーリエ変換を閉形式で計算するため、FFTを適用する。
• 源平面と観測平面の座標系のずれを補正するために、スペクトル領域における平行移動（位相シフト）を実装する。
• 空間領域における補間を達成するために、スペクトル領域でゼロパディングを実施し、ナイキスト基準を満たす精度を確保する。
• 計算複雑度を最小化するため、基準平面数 $\mathcal{N}_r^{\text{opt}}$ とテイラー級数の次数 $\mathcal{N}_o^{\text{opt}}$ を最適化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 直接FFTの適用が不可能な準平面的電磁波伝播問題に対し、FFTを効果的に応用できるか？
• RQ2 TI-FFTフレームワークにおいて、精度と計算コストのバランスを最適化するテイラー級数展開の最適次数は何か？
• RQ3 基準平面間の空間スライス間隔が、計算の精度と効率に与える影響は何か？
• RQ4 特に狭帯域ビームに対して、低サンプリングレート（大きな間隔）を維持しながらも高い精度を達成できるか？
• RQ5 最適化されたTI-FFTアルゴリズムの計算複雑度は何か？また、グリッドサイズに伴いどのようにスケーリングされるか？

主な発見

• TI-FFTアルゴリズムの最適化された計算複雑度は、$N = \mathcal{N}_x \times \mathcal{N}_y$ グリッドに対して $\mathcal{N}_{r}^{\text{opt}}\mathcal{N}_{o}^{\text{opt}}\mathcal{O}(N\log_2 N)$ であり、標準FFTと同等の効率性を達成する。
• 最適なテイラー級数次数 $\mathcal{N}_o^{\text{opt}}$ は、精度に対して対数的に比例し、$\mathcal{N}_o^{\text{opt}} \sim -\ln\gamma_{\text{TI}}$ を満たす。ここで $\gamma_{\text{TI}}$ はアルゴリズムの計算精度を表す。
• 最適な空間スライス間隔 $\delta_z^{\text{opt}}$ は、およそ $\frac{1}{17}\lambda_c$ であり、$\lambda_c$ はEM波の特徴的な波長を表す。
• サンプリング定理を満たすにもかかわらず、大きなサンプリング間隔（低サンプリングレート）を許容でき、計算効率を高められる。
• 特異性がなく、特に狭帯域ビームおよび準平面的幾何構造に対して優れた性能を示す。
• TI-FFTアルゴリズムは、近場および遠場計算、ビーム形状調整ミラーの設計、回折、散乱、半空間シナリオにおけるマイクロ波イメージングに応用可能である。