[論文レビュー] The Teichmüller space of an Anosov diffeomorphism of $T^2$

Elise E. Cawley|arXiv (Cornell University)|May 12, 1991

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 8被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、2次元トーラス上のアノソフ微分同相写像のテイヒミュラー空間を調査し、拡大・収縮の固有値に関連するホーラー簡約コホモロジー類の対が、1つの位相的同型類内でどのようないずれが生じるかに焦点を当てる。力学系およびコホモロジー的技法を用いて、著者らは、このようなすべてのコホモロジー類の対が実際に生じることを証明し、滑らかな同型写像下での固有値不変量を完全に特徴づけた。

ABSTRACT

In this paper we consider the space of smooth conjugacy classes of an Anosov diffeomorphism of the two-torus. The only 2-manifold that supports an Anosov diffeomorphism is the 2-torus, and Franks and Manning showed that every such diffeomorphism is topologically conjugate to a linear example, and furthermore, the eigenvalues at periodic points are a complete smooth invariant. The question arises: what sets of eigenvalues occur as the Anosov diffeomorphism ranges over a topological conjugacy class? This question can be reformulated: what pairs of cohomology classes (one determined by the expanding eigenvalues, and one by the contracting eigenvalues) occur as the diffeomorphism ranges over a topological conjugacy class? The purpose of this paper is to answer this question: all pairs of Hölder reduced cohomology classes occur.

研究の動機と目的

• 2次元トーラス上のアノソフ微分同相写像の滑らかな同型写像類から生じる、拡大および収縮の固有値に対応するコホモロジー類の対のうち、どのようなものが実現可能かを特定すること。
• フランクスとマンニングの結果（T² 上のすべてのアノソフ微分同相写像が線形写像と位相的同型である）を拡張し、滑らかな同型写像下での固有値不変量の問題を扱うこと。
• 1つの位相的同型写像類内で可能な固有値データの全範囲を特徴づけること。
• 表面微分同相写像のテイヒミュラー理論の文脈において、力学的不変量（周期点における固有値）とコホモロジー的データの関係を明確にすること。

提案手法

• 本稿の分析は、T² 上のアノソフ微分同相写像の分類に根ざしており、すべてのこのような写像が双曲的線形自己同型写像と位相的同型であるという事実に依存する。
• 論文は、微分同相写像の拡大・収縮方向にホーラー連続なコサイクルを関連付けるコホモロジー的技法を用いる。
• テイヒミュラー理論およびホーラーコホモロジーの結果を適用し、可能な固有値データの空間をコホモロジー類の対として特徴づける。
• フランクスとマンニングが示したように、周期点における固有値は滑らかな完全不変量を形成することを応用し、問題をコホモロジー的実現可能性の問題に還元する。
• 証明は、任意の与えられたホーラー簡約コホモロジー類の対に対して、その類を固有値不変量として実現する同型類内の微分同相写像を構成することで進行する。
• 2次元トーラスの構造およびアノソフ力学の剛性に依拠することで、いかなるコホモロジー的対も除外されないことが示される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 滑らかな同型写像類から生じる、拡大および収縮の固有値に対応するコホモロジー類の対の中で、どのようなものがT² 上のアノソフ微分同相写像から実現可能か？
• RQ2 滑らかな同型写像下での固有値不変量の集合は、安定および不安定分布のコホモロジー類によって完全に決定されるか？
• RQ3 任意のホーラー簡約コホモロジー類の対が、固定された位相的同型写像類内のあるアノソフ微分同相写像の固有値データとして実現可能か？
• RQ4 コホモロジー的不変量は、T² 上のアノソフ微分同相写像の滑らかな同型写像類をどの程度まで分類できるか？
• RQ5 T² 上のアノソフ微分同相写像のテイヒミュラー空間は、コホモロジーを介してすべての可能な固有値設定をパラメータ化するか？

主な発見

• 拡大および収縮の固有値に対応するすべてのホーラー簡約コホモロジー類の対が、T² 上のアノソフ微分同相写像の1つの位相的同型写像類内で不変量として実現される。
• 滑らかな同型写像類の空間は、このようなコホモロジー類の対によって完全にパラメータ化される。
• 任意のホーラー簡約コホモロジー類の対が、与えられた同型写像類内のあるアノソフ微分同相写像の固有値データとして実現可能であるという、位相的障害はない。
• この結果により、固有値データがコホモロジーに引き上げられた場合、滑らかな同型写像の文脈で完全かつ普遍的な不変量を形成することが確認された。
• T² 上のアノソフ微分同相写像のテイヒミュラー空間は、自然にこのようなすべてのコホモロジー類の対の空間と同一視される。
• 特徴づけは鋭い：すべてのこのような対が実現可能であり、力学的またはコホモロジー的制約によっていかなる対も除外されない。