[論文レビュー] The terms in Lucas sequences divisible by their indices

Christopher Smyth|ArXiv.org|Aug 26, 2009

Advanced Mathematical Theories and Applications参考文献 15被引用数 19

ひとこと要約

本稿は、第一種および第二種のリュカ数列 $ u_n $ および $ v_n $ の $ n $ 番目の項を割り切る自然数 $ n $ を特徴づけている。このような $ n $ は、1、6、または12という「基本的」な値と、$ u_n\Delta $ や $ v_n\Delta $ から得られる特定の素数の積であることが示され、再帰的素数拡張および可除性の性質を用いて、これらの可除性集合の完全な構造的記述がなされている。

ABSTRACT

For Lucas sequences of the first kind (u_n) and second kind (v_n) defined as usual for positive n by u_n=(a^n-b^n)/(a-b), v_n=a^n+b^n, where a and b are either integers or conjugate quadratic integers, we describe the set of indices n for which n divides u_n and also the set of indices n for which n divides v_n. Building on earlier work, particularly that of Somer, we show that the numbers in these sets can be written as a product of a so-called basic number, which can only be 1, 6 or 12, and particular primes, which are described explicitly. Some properties of the set of all primes that arise in this way is also given, for each kind of sequence.

研究の動機と目的

• 第一種リュカ数列における $ \{n \in \mathbb{N} : n \mid u_n\} $ の集合を特徴づける。
• 第二種リュカ数列における $ \{n \in \mathbb{N} : n \mid v_n\} $ の集合を特徴づける。
• これらの集合の「基本的」要素を特定し、すべての要素が特定の素数による乗算によってどのように生成されるかを記述する。
• これらの集合、またはそれらに関連する素数集合が有限または無限である条件を特定する。

提案手法

• 特性方程式 $ x^2 - Px + Q = 0 $ の根 $ \alpha, \beta $ の性質とビネの公式を用いて、リュカ数列 $ u_n $ および $ v_n $ を定義する。
• 定理1(b)を適用し、第一種の場合に $ S $ に属するすべての $ n $ が、基本的要素と $ \mathcal{P}_{S,n} $（$ u_n\Delta $ を割り切る素数の集合）に属する素数の積であることを示す。
• ソマーズの結果（定理3）とその改良（命題4）を用い、最大の素因数による逆方向の除法を可能にし、基本的要素の特定を可能にする。
• $ u_{kn} = u_k^{(n)} u_n $ という恒等式を用いて $ u_n \mid u_{np} $ を示し、$ S $ が $ \mathcal{P}_{S,n} $ に属する素数による乗算に関して閉じていることを支持する。
• 系2を適用：$ m $ のすべての素因数が $ u_n\Delta $ を割るならば、$ nm \in S $ である。これは、以前の結果を強化するものである。
• 集合 $ S $ および $ T $ を、基本的要素を根とする木構造の集合（フォレスト）として分析し、辺は許容される素数でラベル付けされる。これにより、上限までの要素を効率的に探索できる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 第一種リュカ数列において、どの $ n $ に対して $ n \mid u_n $ が成り立つか。
• RQ2 第二種リュカ数列において、どの $ n $ に対して $ n \mid v_n $ が成り立つか。
• RQ3 $ \{n : n \mid u_n\} $ および $ \{n : n \mid v_n\} $ の「基本的」要素とは何か。また、すべてのこのような $ n $ は、それらからどのように生成されるか。
• RQ4 $ P $ および $ Q $ に対して、集合 $ \{n : n \mid u_n\} $、$ \{n : n \mid v_n\} $、またはそれらに関連する素数集合が有限または無限である条件は何か。

主な発見

• 集合 $ \{n : n \mid u_n\} $ は、基本的要素（1、6、または12）と、$ u_n\Delta $ を割る素数の集合 $ \mathcal{P}_{S,n} $ に属する素数の積からなるすべての数から成る。
• 第一種の基本的要素は、$ P \equiv 3 \pmod{6} $ かつ $ Q \equiv \pm1 \pmod{6} $ の場合に1と6、$ P \equiv \pm1 \pmod{6} $ かつ $ Q \equiv -1 \pmod{6} $ の場合に1と12。それ以外の場合は1のみ。
• 第二種の場合、集合 $ \{n : n \mid v_n\} $ も同様に基本的要素から生成され、$ \mathcal{P}_{T,n} $ は $ v_n\Delta $ を割る素数、または特別な場合に2を含む。
• $ S $ に属するある $ n $ を割るすべての素数の集合 $ \mathcal{P}_S $ は、$ S $ が有限でない限り無限である。$ P=1, Q=-1 $（フィボナッチの場合）では、全素数集合に一致する。
• $ \mathcal{P}_T $ は、数列 $ v_n $ が非退化的で無限個の原始的素因数を持つ場合に無限である。これは $ P $ および $ Q $ に対して一般的な条件下で成立する。
• 系2により、$ m $ のすべての素因数が $ u_n\Delta $ を割るならば、$ nm \in S $ である。これは $ S $ に属するための強い十分条件を提供する。