[論文レビュー] The Theory of Functional Connections: A journey from theory to application

Hunter Johnston|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2021

Spacecraft Dynamics and Control参考文献 104被引用数 8

ひとこと要約

本学位論文は、ユーザー定義の線形制約を関数的表現に解析的に埋め込むことで、制約付き最適化問題を制約なしの問題に変換する数学的枠組み「関数的つながりの理論（TFC）」を提示する。TFCは、制約付き表現を活用することで、常微分方程式や最適制御問題（軌道予測、周期軌道、リアルタイム最適着陸シナリオを含む）の高速かつ高精度で頑健な数値解法を可能にする。

ABSTRACT

The Theory of Functional Connections (TFC) is a general methodology for functional interpolation that can embed a set of user-specified linear constraints. The functionals derived from this method, called \emph{constrained expressions}, analytically satisfy the imposed constraints and can be leveraged to transform constrained optimization problems to unconstrained ones. By simplifying the optimization problem, this technique has been shown to produce a numerical scheme that is faster, more accurate, and robust to poor initialization. The content of this dissertation details the complete development of the Theory of Functional Connections. First, the seminal paper on the Theory of Functional Connections is discussed and motivates the discovery of a more general formulation of the constrained expressions. Leveraging this formulation, a rigorous structure of the constrained expression is produced with associated mathematical definitions, claims, and proofs. Furthermore, the second part of this dissertation explains how this technique can be used to solve ordinary differential equations providing a wide variety of examples compared to the state-of-the-art. The final part of this work focuses on unitizing the techniques and algorithms produced in the prior sections to explore the feasibility of using the Theory of Functional Connections to solve real-time optimal control problems, namely optimal landing problems.

研究の動機と目的

• 関数的つながりの理論（TFC）を、埋め込まれた制約を持つ関数補間の一般化手法として、厳密な数学的基盤を構築すること。
• TFCを用いて、境界値問題、初期値問題、高階系を含む常微分方程式（ODE）の解法を実証すること。
• 特に燃料最適な宇宙船着陸軌道を対象とした、リアルタイム最適制御問題へのTFCの実用可能性を評価すること。
• 三体問題における周期軌道の計算や放射移動方程式といった複雑な問題へのTFCの拡張を試みること。
• 物理情報に基づくニューラルネットワークや極端学習機械と統合し、パラメトリック問題や逆問題を解くためのTFCの統合を図ること。

提案手法

• 射影スイッチング機構とスイッチング関数を用いて、線形制約を解析的に満たす制約付き表現を定式化する。
• 制約なしに最適化可能な自由関数 g(x) を導入し、残りの表現は正確な制約満たしを保証する。
• 二点境界値問題（TPBVP）および初期値問題を、制約なし最適化問題に変換する手法を適用する。
• 非線形最小二乗法やコロケーション法などの数値ソルバーを用い、自由関数上で損失関数を最小化する。
• 基底関数のマッピングとサポート行列を用いて、多次元および非長方形領域へのTFCの拡張を実現する。
• 極端学習機械（ELM）を自由関数として用い、TFCとニューラルネットワークを統合した極端理論的関数的つながり（X-TFC）を構築し、パラメトリックODEの解法に応用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の線形制約を関数的表現に解析的に埋め込むための一般枠組みをどのように構築できるか？
• RQ2 特に多次元および高階問題に対して、TFCにおける制約付き表現の数学的構造と証明フレームワークは何か？
• RQ3 TFCは、特に精度、収束性、初期値への感受性の観点から、従来の手法と比較してどのように異なるか？
• RQ4 宇宙船着陸における厳密な時間的・精度的制約を伴うリアルタイム最適制御問題に、TFCを効果的に適用できるか？
• RQ5 物理情報に基づく学習フレームワークを用いて、TFCを天体力学、放射移動、逆問題といった複雑な問題にどの程度まで拡張できるか？

主な発見

• TFCは、制約を解析的に埋め込むことで、制約付き最適化問題を制約なしの問題に変換し、従来の手法と比較して高速かつ頑健な数値解法を実現する。
• TFCは、摂動付きランベルト問題や軌道予測を含む二点境界値問題において、ode113 や F & G 法といった標準ソルバーと同等またはそれ以上の性能を達成し、高い精度を実現する。
• TFCは、円形制限三体問題における周期軌道（例えば、ライアプノフ軌道やハローオービット）の計算において、微分補正法と同等の精度と速度を達成するが、実装がはるかに簡単である。
• 放射移動問題、特にチャンドラセカールの問題へのTFCの応用は、高い精度を示し、大気科学およびリモートセンシング応用に適している。
• TFCと極端学習機械を統合したX-TFCは、SIR、SEIR、SEIRS疫学的モデルにおけるパrameter発見を含む、パラメトリックODEおよび逆問題の高速かつ高精度な解法を可能にする。
• TFCに基づく最適着陸解法は、リアルタイム実装の可能性を示しており、制約付き表現のおかげで、初期値が悪くても迅速な収束が可能である。これは、搭載型ガイダンスシステムへの応用可能性を示唆している。