[論文レビュー] The Theory of Gravitation in the Space - Time with Fractal Dimensions and Modified Lorents Transformations

L. Ya. Kobelev|ArXiv.org|Jun 10, 2000

Complex Systems and Time Series Analysis参考文献 9被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、非整数次元（フラクタル次元）を持つ時空における重力の修正理論を提案する。ローレンツ変換は一般化された分数階微分を用いて修正され、光速に近い速度域での速度依存補正を扱う。理論は、実エネルギーを持つ2つの重力場（重ヒッグス粒子と反重ヒッグス粒子）と、虚数エネルギーを持つ2つの重力場を導入し、それらを新たな概念「準スピン」で結びつける。この理論は、多フラクタル時空における修正相対論的力学と重力を統一し、整数次元極限では一般相対性理論に回帰する。

ABSTRACT

In the space and the time with a fractional dimensions the Lorents transformations fulfill only as a good approach and become exact only when dimensions are integer. So the principle of relativity (it is exact when dimensions are integer) may be treated also as a good approximation and may remain valid (but modified) in case of small fractional corrections to integer dimensions of time and space. In this paper presented the gravitation field theory in the fractal time and space (based on the fractal theory of time and space developed by author early). In the theory are taken into account the alteration of Lorents transformations for case including $v=c$ and are described the real gravitational fields with spin equal 2 in the fractal time defined on the Riemann or Minkowski measure carrier. In the theory introduced the new "quasi-spin", given four equations for gravitational fields (with different "quasi spins" and real and imaginary energies). For integer dimensions the theory coincide with Einstein GR or Logunov- Mestvirichvili gravitation theory.

研究の動機と目的

• 非整数次元（フラクタル次元）を持つ時空と整合する重力場理論の構築を目的とする。
• 先行研究におけるフラクタル時間の考察に基づき、一般化された分数階微分（GFD）を用いて光速に近い領域におけるローレンツ変換の補正を組み込む。
• 多フラクタル時空の枠組みにおいて、新たな場の型と対称性を導入することで、重力を統一する。
• フラクタル次元が整数に近づく極限において、理論がアインシュタインの一般相対性理論またはルグノフ＝メストヴィリチヴィリ理論に還元されることを示す。
• 多フラクタル宇宙において、すべての物理的場が「虚数エネルギー」を有する双子を有する可能性を提起し、場の理論のより広範な再定式化を示唆する。

提案手法

• 理論は、時空の多フラクタル集合上での力学を可能にするために、作用関数における標準的微分を一般化された分数階微分（GFD）に置き換える。
• GFDは変数次数の左・右片側積分を用いて定義され、次元が定数のときリーマン＝リウヴィル微分に還元される。
• ローレンツ変換の補正項を含むラグランジアンを修正し、これには先行研究における準慣性系の考察に基づく項が含まれる。
• 実エネルギーと虚数エネルギーを持つ2つの場のタイプに対応する4つの独立した重力場方程式を導出する。これらは新たな「準スピン」量子数によって結びつけられる。
• 理論は2つの測度的载体（リーマン時空とミンコフスキー時空）の上に構築され、幾何的構造の比較が可能になる。
• 形式的枠組みは保存則の近似を保証するが、正確な保存則は測度的载体を含む閉じた系においてのみ成立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非整数次元を持つ時空において、特に光速付近でローレンツ不変性がどのように保存されたり修正されたりするか。
• RQ2 時空が変動するフラクタル次元を持つ多フラクタル集合としてモデル化された場合、重力場理論にどのような影響が生じるか。
• RQ3 1つの重力場が実エネルギーと虚数エネルギーを持つ4つの異なる場に分解可能であるか。また、「準スピン」はこの分解においてどのような物理的役割を果たすか。
• RQ4 フラクタル次元が整数に近づく極限において、理論が一般相対性理論またはルグノフ＝メストヴィリチヴィリ理論にどのように還元されるか。
• RQ5 特に重力半径付近の領域において、このフラクタル重力モデルを標準一般相対性理論と区別する実験的兆候は何か。

主な発見

• 理論は4種類の異なる重力場を予測する：実エネルギーを持つ2つ（重ヒッグス粒子と反重ヒッグス粒子）と、虚数エネルギーを持つ2つ。これは一般化された分数階微分の構造に起因する。
• 「準スピン」の導入により、実エネルギー場と虚数エネルギー場の間の相互作用を区別する量子数が得られる。
• 整数次元極限において、理論は正確にアインシュタインの一般相対性理論またはルグノフ＝メストヴィリチヴィリ理論に還元される。
• フラクタル補正が顕著な領域（例：重力半径付近）では、運動方程式が微分方程式から積分方程式に変わる。
• エネルギー、運動量、質量の保存則は観測可能な宇宙では近似的に成立するが、正確な保存則を得るには測度的载体を閉じた系に含める必要がある。
• モデルは、多フラクタル宇宙においてすべての物理的場が「虚数エネルギー」を有する双子を有する可能性を示唆し、場のタイプの普遍的二重化を示唆する。