[論文レビュー] The theory of superstring with flux on non-Kahler manifolds and the complex Monge-Ampere equation

Jixiang Fu, Shing‐Tung Yau|arXiv (Cornell University)|Apr 10, 2006

Geometry and complex manifolds参考文献 11被引用数 11

ひとこと要約

この論文は、非ケーラー多様体上のストロミンガー系を、非線形複素マニンゲ・アンペール方程式に対する事前推定を確立することで解き、ホテントリック超弦理論におけるフラックスコンパクト化を実現する滑らかな解の存在を証明する。主な貢献は、非ケーラー変形を介してカルラヤ・多様体を結ぶ幾何的構成であり、一般化されたヘルミート・ヤン・ミルズ系と体積形式の制約を通じて、異常性キャンセレーションおよび超対称性条件を満たす解が得られる。

ABSTRACT

The purpose of this paper is to solve a problem posed by Strominger in constructing smooth models of superstring theory with flux. These are given by non-Kahler manifolds with torsion.

研究の動機と目的

• 非ケーラー多様体上でフラックスを伴う滑らかで超対称的な超弦コンパクト化を構成し、弦理論における長年の未解決問題を解消すること。
• 体積形式の制約を伴う非線形複素マニンゲ・アンペール方程式を解くことで、ストロミンガー系の解の存在を確立すること。
• M. リードの提案である、異なるトポロジーを持つカルラヤ・多様体を非ケーラー幾何を用いて$S^3 \times S^3$の連結和を通じて結ぶことの実現。
• ケーラー基底上でのファイブレーションを用いて、高次元複素多様体へのストロミンガー系の一般化を図ること。ここで、調和(1,1)-形式を用いる。
• 平行スピン角および安定なベクトル bundle を支持する非ケーラー多様体上に、標準的なヘルミート計量構造を提供すること。

提案手法

• ヘルミート・ヤン・ミルズ条件、$\partial\bar{\partial}\omega = \frac{\alpha'}{4}(\text{tr}R\wedge R - \text{tr}F\wedge F)$ による異常性キャンセレーション、および $d^*\omega$ を含むドライホロン条件を含むストロミンガー系を連立方程式として定式化する。
• ホロモーフィック体積形式を固定し、体積形式制約 $d(\|\Omega\|_{\omega}^{2\frac{n-1}{n}}\omega^n) = 0$ を分析することで、系を非線形複素マニンゲ・アンペール方程式に還元する。
• Kählerポテンシャル $u$ に対して、零次、二次、三次、および行列式推定を適用し、曲率および体積形式の振る舞いを制御する。
• 調和(1,1)-形式 $\omega_1, \omega_2$ と関数 $u$ を用いて、$T^2$-ファイブレーション上の計量 $\omega_u = e^u\omega_K + \frac{\sqrt{-1}}{2}\theta\wedge\bar{\theta}$ を定義することで、明示的解を構成する。
• Uhlenbeck-Yau定理を用いて、ファイブレーション上の引き戻し bundle にヘルミート・ヤン・ミルズ接続が存在することを保証し、$F_H^{2,0} = F_H^{0,2} = 0$ および $F_H \wedge \omega^n = 0$ を満たすことを確認する。
• 構成された計量および bundle が次元 $n+1$ における一般化ストロミンガー系を満たすことを確認する。具体的には、$ \text{tr}R_u\wedge R_u$ が曲率項と一致し、体積形式条件が成立することを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 フラックスを伴う非ケーラー多様体上で、異常性キャンセレーションおよび超対称性を満たす滑らかなストロミンガー系の解を構成することは可能か？
• RQ2 体積形式が計量に依存する場合、ストロミンガー系から生じる複素マニンゲ・アンペール方程式をどのように解くことができるか？
• RQ3 カルラヤ多様体の幾何を、$S^3 \times S^3$ の連結和と微分同相である非ケーラー多様体に変形しながら、超対称性およびフラックス条件を保存することは可能か？
• RQ4 調和(1,1)-形式は、安定なベクトルバンドルおよびヘルミート・ヤン・ミルズ接続を支持する高次元非ケーラー多様体を構成する上で果たす役割は何か？
• RQ5 次元 $n \geq 3$ に対して、一般化ストロミンガー系における曲率項 $\text{tr}R\wedge R$ と $\text{tr}F\wedge F$ の相互作用はどのようなものか？

主な発見

• 20年にもわたる未解決問題であった、フラックスを伴うストロミンガー系の滑らかな解が、複素3次元多様体上で構成され、解決された。
• 体積形式制約 $d(\|\Omega\|_{\omega}^{2\frac{n-1}{n}}\omega^n) = 0$ が重要な役割を果たす非線形複素マニンゲ・アンペール方程式に対する事前推定を用いて解が得られた。
• カルラヤ $n$-fold 上の $T^2$-ファイブレーション上の計量 $\omega_u$ は、$\|\Omega\|_{\omega_u}^2 = e^{-nu}$ を満たし、体積条件が満たされることを保証する。
• 曲率項 $\text{tr}R_u\wedge R_u$ は、基底カルラヤ計量とファイブレーションからの寄与に分解され、$\partial\bar{\partial}u$-項および $\partial\bar{\partial}(e^{-u}\text{tr}\bar{\partial}B\wedge\partial B^*)$ が明示的に計算された。
• 系は、$\sqrt{-1}\partial\bar{\partial}u$ と調和形式を含む解ける方程式に還元され、$\int_K \mu \frac{\omega_K^n}{n!} = 0$ を満たす解の存在条件が得られた。
• $T^2$-ファイブレーションを用いたカルラヤ $n$-fold 上の一般化により、$n+1$ 次元多様体へと拡張可能であり、$\Omega = \Omega_K \wedge \theta$ がホロモーフィック体積形式を定義する。