[論文レビュー] The theta divisor and the Casson-Walker invariant

Peter Ozsváth, Zoltán Szabó|ArXiv.org|Jun 26, 2000

Geometric and Algebraic Topology参考文献 16被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、ヘーガード分解とシータ除数を用いて、有理ホモロジー3次元球面の$\mathrm{Spin}^c$構造の集合上に、経路依存性を補正するためのスペクトルフローを考慮した有理数値不変量$\widehat{\theta}$を定義する。主な結果として、インデックス理論とアティヤ＝パトロイド＝サージェントのインデックス定理から導かれる補正項を用いて、$\widehat{\theta}$とカスン＝ウォーカー不変量との明確な関係を確立する。

ABSTRACT

We use Heegaard decompositions and the theta divisor on a Riemannian surface to define a three-manifold invariant for rational homology three-spheres. This invariant is defined on the set of $Spin^c$ structures $$ {\hat θ}\colon Spin^c(Y)\longrightarrow Q. $$ In the first part of the paper, we give the definition of the invariant (which builds on the theory developed in the article, "The theta divisor and three-manifold invariants"). In the second part, we establish a relationship between this invariant and the Casson-Walker invariant.

研究の動機と目的

• 有理ホモロジー3次元球面で$ b_1(Y) = 0 $を満たすものに対して、$\mathrm{Spin}^c$構造上に位相的不変量$\widehat{\theta}$を定義すること。
• ハンドル体に依存する補正項$\xi^\circ(k_0)$および$\xi^\circ(k_1)$を導入することで、シータ除数構成における経路依存性を解消すること。
• インデックス理論を用いて、$\widehat{\theta}$とカスン＝ウォーカー不変量との明確な関係を確立すること。
• スペクトルフローとアティヤ＝パトロイド＝サージェントのインデックス理論を用いて、補正された不変量が計量の選択に依存しないことを示すこと。

提案手法

• $U$-許容計量の経路に沿って、ジャコビアン内のシータ除数とラグランジュアントーラスの交点数の符号付き計数として関数$\theta_{h_t}(\mathfrak{a})$を構成する。
• ハンドル体$U_0$および$U_1$に関連する補正項$\xi^\circ(k_0)$および$\xi^\circ(k_1)$を導入することで、経路依存性を補正する。
• 円筒的端を持つ多様体のためのアティヤ＝パトロイド＝サージェントのインデックス定理を用いて、グローバル補正項$\xi_{k_Y}(\mathfrak{a})$を定義する。
• スペクトルフローを用いて、異なる計量経路間での$\theta_{h_t}(\mathfrak{a})$の差を関連付ける。
• 球面$S^3$上の$\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$作用をスピノルバンドルに引き上げ、$G$-インデックス定理を用いて$g$-エータ不変量を計算する。
• 非負の曲率経路を介した計量の変形により、レンズ空間上での補正項の不変性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 第一ベッチ数が0である有理ホモロジー3次元球面に対して、シータ除数とヘーガード分解を用いて$\mathrm{Spin}^c$値不変量をどのように定義できるか。
• RQ2 シータ除数の交点数の計算に現れる経路依存性の原因は何か。また、これを補正して位相的不変量を得るにはどうすればよいか。
• RQ3 得られた不変量$\widehat{\theta}$はカスン＝ウォーカー不変量とどのように関係しているか。
• RQ4 円筒的端を持つ多様体のスペクトルフローとインデックス理論を用いて、補正項を表現できるか。
• RQ5 特にレンズ空間上で、非負のスカラー曲率を持つ計量変形の下でも、不変量が変化しないか。

主な発見

• 不変量$\widehat{\theta}(\mathfrak{a})$は、$\xi^\circ(k_0) + \theta_{h_t}(\mathfrak{a}) + \xi^\circ(k_1) - \xi_{k_Y}(\mathfrak{a})$として定義され、補正項によって位相的不変性が保証される。
• $\theta_{h_t'}(\mathfrak{a}) - \theta_{h_t}(\mathfrak{a})$の差は、$\mathbb{R} \times \Sigma$上での$\mathrm{Spin}^c$ディラック作用素の複素スペクトルフローに等しい。
• 補正項$\xi_{k_Y}(\mathfrak{a})$は、$\mathrm{ind}_X(\not\!D) - \frac{c_1(\mathfrak{r})^2 - \sigma(X)}{8}$として与えられ、境界4次元多様体$X$の選択に依存しない。
• レンズ空間$L_{p,q}$では、非負の曲率を持つ積計量へのホモトピーにより、補正項$\xi^\circ(k_0')$および$\xi^\circ(k_1')$が消える。
• $G$-インデックス定理による計算により、レンズ空間上で不変量$\widehat{\theta}(\mathfrak{a})$がカスン＝ウォーカー不変量と正規化係数を除いて一致することが確認された。
• $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$の非自明な群元に対する$g$-エータ不変量は$\eta_g(0) = -\csc(\pi g/p)\csc(\pi qg/p)$であり、これが$\eta_\alpha(0)$の最終式に寄与する。