[論文レビュー] The Third Life of Quantum Logic: Quantum Logic Inspired by Quantum Computing

J. Michael Dunn, Lawrence S. Moss+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 14, 2013

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 14被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、量子計算における量子レジスタの論理として量子論理を再構築することで、qubitに基づく計算に根ざした量子論理の第三の人生を提唱する。量子論理とトポロジカル量子計算を結びつけ、 anyonic 系における内在的量子もつれを導入し、カントール集合 や数の量子アナログについての考察を展開する。

ABSTRACT

We begin by discussing the history of quantum logic, dividing it into three eras or lives. The first life has to do with Birkhoff and von Neumann's algebraic approach in the 1930's. The second life has to do with attempt to understand quantum logic as logic that began in the late 1950's and blossomed in the 1970's. And the third life has to do with recent developments in quantum logic coming from its connections to quantum computation. We discuss our own work connecting quantum logic to quantum computation (viewing quantum logic as the logic of quantum registers storing qubits), and make some speculations about mathematics based on quantum principles.

研究の動機と目的

• 量子計算にインspiredされたqubitベースの計算に根ざした量子論理の第三の人生を象徴する、量子レジスタに格納されたqubitの論理として量子論理を再定式化すること。
• 特に非アーベルanyonとその基底状態を通じて、トポロジカル量子計算において量子論理が自然に生じる仕組みを調査すること。
• カントール集合 や数といった古典的概念を非可換・量子的状況に一般化することで、『量子数学』の推測的基盤を探ること。
• 自然なテンソル分解を欠く状態におけるトポロジカル量子状態の内在的もつれの役割を検討すること。
• 波動関数を『量子数』として公理化する可能性と、量子論理が算術を形式化する際の限界を評価すること。

提案手法

• 命題をヒルベルト空間の閉部分空間に対応させ、論理的結合（論理積）を交差、論理的和（論理和）を生成する部分空間の閉包、否定を直交性によって定義することで、量子レジスタの論理として量子論理をモデル化する。
• 非可換確率をモデル化し、『量子カントール集合』を古典的カントール集合の非可換アナログとして定義するために、フォン・ノイマン代数と型 $\mathrm{II}_1$ ファクターの枠組みを用いる。
• anyon理論とトポロジカル量子場理論を用いて非アーベルanyonの基底状態を分析し、$r=4$ 個のanyonでは2つの独立した波動関数が必要であることを示す。
• ヒルベルト空間に自然なテンソル分解がないことから、トポロジカル秩序における内在的もつれを分析し、もつれが非局所的かつ測定に依存しない特徴を持つことを明らかにする。
• チューリングテープ上のバイナリ文字列をヒルベルト空間の基底ベクトル上の複素振幅に一般化することで、波動関数を『量子数』として提案する。
• 正規直交量子論理を形式系に適用し、一階ペアノ算術は古典的定理を保つが、二階系では拡張性原理の下で古典論理に崩壊することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子計算における量子レジスタの論理として、量子論理をどのように再解釈できるか？
• RQ2 トポロジカル量子状態における内在的もつれの役割は何か？ そして、標準的なもつれとはどのように異なるか？
• RQ3 カントール集合 や実数といった古典的数学的構造を、非可換・量子的状況に一般化できるか？
• RQ4 形式的量子算術において波動関数を『量子数』として用いる場合、どのような意味合いがあるか？
• RQ5 拡張性原理を含む二階量子論理は、なぜ古典論理を超えて拡張できないのか？

主な発見

• 量子レジスタの論理はヒルベルト空間の閉部分空間によって形式化され、論理的和は2つの部分空間の生成する部分空間の閉包として定義される。
• $r=4$ 個の非アーベルanyonでは、基底状態多様体を記述するために2つの独立した波動関数が必要であり、これは非自明なトポロジカル縮退を示している。
• トポロジカル秩序は、ヒルベルト空間が自然なテンソル分解を持たないため、もつれが内在的であり、非局所的特徴を持つ。
• 正規化されたトレースを備えた超有限 $\mathrm{II}_1$ ファクターは非可換確率空間として機能し、ストーン表現定理の類似によって『量子カントール集合』をモデル化する。
• 波動関数は、配列されていないヒルベルト基底上で、バイナリ桁を複素振幅に一般化することで、古典的数の一般化として機能し、『量子数』の基盤を示唆する。
• 正規直交量子論理における一階ペアノ算術は古典的算術と同じ定理を導くが、二階系では最小限の拡張性原理の下で古典論理に崩壊する。