[論文レビュー] The Thirring model 40 years later

Nevena Ilieva, Walter Thirring|ArXiv.org|Aug 19, 1998

Physics of Superconductivity and Magnetism被引用数 3

ひとこと要約

この論文は代数的量子場理論におけるスレーティング模型の解を構築し、フェルミオン解が λ = √[2(2n+1)π], n ∈ ℕ の離散的結合定数でのみ存在することを示している。それ以外の場合は任意粒子解が出現する。ヒルベルト空間は可分でなくなる。これは、互いに直交する非可算個の任意粒子的領域が存在するためであり、それぞれが異なるウルギライヒングを有する。これは、λ のべき級数展開では捉えきれない非摂動的構造を露呈する。

ABSTRACT

Solutions to the Thirring model are constructed in the framework of algebraic QFT. It is shown that for all positive temperatures there are fermionic solutions only if the coupling constant is $λ= \sqrt{2(2n+1)π}, n\in \bf N$, otherwise solutions are anyons. Different anyons (which are uncountably many) live in orthogonal spaces, so the whole Hilbert space becomes non-separable and in each of its sectors a different Urgleichung holds. This feature certainly cannot be seen by any power expansion in $λ$. Moreover, if the statistic parameter is tied to the coupling constant it is clear that such an expansion is doomed to failure and will never reveal the true structure of the theory. On the basis of the model in question, it is not possible to decide whether fermions or bosons are more fundamental since dressed fermions can be constructed either from bare fermions or directly from the current algebra.

研究の動機と目的

• 摂動的手法ではなく代数的量子場理論（AQFT）を用いてスレーティング模型を分析すること。
• この模型においてフェルミオン的解と任意粒子的解がそれぞれどのような条件下で出現するかを特定すること。
• 複数の任意粒子的領域が共存する際のヒルベルト空間の構造を調査すること。
• 標準的な結合定数 λ における摂動的展開が、理論の真の物理的内容を捉えられない理由を明確にすること。
• 裸フェルミオンと電流代数の間の双対性が、ドレッシングフェルミオンをどのように構成するかを探索すること。

提案手法

• 局所的観測可能量とその代数を用いて、理論を代数的量子場理論（AQFT）の枠組みで定式化すること。
• 電流代数の表現論を分析し、励起状態の統計的性質を分類すること。
• フェルミオン的表現が存在する結合定数の値 λ = √[2(2n+1)π] を同定すること。
• 他の λ 値に対しては、非可算個の不等価な表現を持つ任意粒子的統計が理論に許容されることを示すこと。
• これらの任意粒子的領域が直交する部分空間に存在することを確立し、結果としてヒルベルト空間が非可分になること。
• 各領域における場と観測可能量の基本的関係を特徴付けるために、ウルギライヒングの概念を用いること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 結合定数 λ のどの値に対して、代数的QFTの枠組みにおいてスレーティング模型がフェルミオン的解を許容するか？
• RQ2 λ が離散値 λ = √[2(2n+1)π] をとらない場合、励起状態の性質（フェルミオンか任意粒子か）はいかなるものか？
• RQ3 複数の任意粒子的領域が共存する際、ヒルベルト空間の構造はどのように変化するか？
• RQ4 なぜ標準的な λ における摂動的展開は、スレーティング模型の真の非摂動的構造を明らかにできないのか？
• RQ5 同じ理論において、裸フェルミオンと電流代数の両方からドレッシングフェルミオンを一貫して構成できるか？

主な発見

• 代数的QFTの枠組みにおいて、フェルミオン的解は λ = √[2(2n+1)π], n ∈ ℕ の離散的結合定数でのみ存在する。
• λ のその他のすべての値に対して、理論は非可算個の不等価な表現を持つ任意粒子的励起を支持する。
• これらの任意粒子的領域は互いに直交しており、全体のヒルベルト空間が非可分になる。
• ヒルベルト空間の各領域は、異なるバージョンのウルギライヒングを満たしており、それぞれが異なる基本的場の関係を反映している。
• ヒルベルト空間の非可分性と統計の λ 依存性により、λ における摂動的展開は根本的に不十分である。
• ドレッシングフェルミオンは、裸フェルミオンからも、あるいは直接的に電流代数からも構成可能であり、理論の基礎的構造における双対性を示している。