[論文レビュー] The Thompson-Higman monoids M_{k,i}: the J-order, the D-relation, and their complexity

Jean-Camille Birget|ArXiv.org|Apr 16, 2009

Commutative Algebra and Its Applications参考文献 20被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、Thompson-Higman モノイド $M_{k,i}$ のグリーン関係 $\fancyscript{J}$ および $\fancyscript{D}$ を調査し、それらの関係を決定する計算複雑性を確立する。標準生成子では $\fancyscript{J}$-順序が P に属するが、回路型生成子では coDP-完全であるのに対し、$\fancyscript{D}$-同値は $\bigoplus_{k-1}\bullet{\rm NP}$-完全であり、モノイド構造における高度な複雑性クラスの役割が浮き彫りになる。

ABSTRACT

The Thompson-Higman groups G_{k,i} have a natural generalization to monoids M_{k,i}, and inverse monoids Inv_{k,i}. We study some structural features of M_{k,i} and Inv_{k,i} and investigate the computational complexity of decision problems. The main interest of these monoids is their close connection with circuits and circuit complexity. The maximal subgroups of M_{k,1} are isomorphic to the groups G_{k,j} (1 \leq j \leq k-1); so we rediscover all the Thompson-Higman groups within M_{k,1}. The Green relations \leq_J and \equiv_D of M_{k,1} can be decided in deterministic polynomial time when the inputs are words over a finite generating set of M_{k,1}. When a circuit-like generating set is used for M_{k,1} then deciding \leq_J is coDP-complete. The multiplier search problem for \leq_J is xNPsearch-complete, whereas the multiplier search problems of \leq_R and \leq_L are not in xNPsearch unless NP = coNP. Deciding \equiv_D for M_{k,1} when the inputs are words over a circuit-like generating set, is \oplus_{k-1}.NP-complete. For Inv_{k,1} over a circuit-like generating set, deciding \equiv_D is \oplus_{k-1} P-complete.

研究の動機と目的

• Thompson-Higman モノイド $M_{k,i}$ 及びその逆元対応 ${\rm Inv}_{k,i}$ の構造的性質、特にグリーン関係を分析すること。
• 異なる生成集合を用いた $M_{k,1}$ における $\fancyscript{J}$-順序および $\fancyscript{D}$-関係を決定する計算複雑性を同定すること。
• 解空間が多項式的に有界でない可能性があるが、検証が多項式時間内に可能であるような探索問題を扱えるように一般化されたクラス xNPsearch を導入・特徴づけること。
• 特に回路型生成集合を通じて、モノイド関係と回路複雑性との間の関係を確立すること。
• 部分回路の像のサイズおよび像のサイズ modulo $h$ 問題が、それぞれ $\bigcirc\bullet{\rm NP}$-完全および $\bigoplus_h\bullet{\rm NP}$-完全であることを示すこと。

提案手法

• 生成集合 $A$ と $B$ をそれぞれ $|A|=k$, $|B|=i$ とする $BA^*$ の右イデアル間の最大拡張右イデアル自己同型写像からなるモノイド $M_{k,i}$ を定義し、本質的等価性と最大拡張性を用いて一意性を保証する。
• 多項式時間内の一対多の探索還元を用い、$M_{k,1}$ における意思決定問題を既知の複雑性クラス（特に coDP および $\bigoplus_{k-1}\bullet{\rm NP}$）と関連付ける。
• 解が多項式的に有界でないが検証が多項式時間内に可能であるような探索問題を捉えるために、xNPsearch というクラスを導入する。
• $\fancyscript{J}$-順序および $\fancyscript{D}$-関係問題と既知の NP 困難問題との間の還元を確立し、検証および入出力還元を用いて完全性を示す。
• 像のサイズ modulo $h$ 問題の解析にモジュラー数え上げ複雑性クラスを適用し、$h \neq 1$ の場合に $\bigoplus_h\bullet{\rm NP}$-完全性を示す。
• $\fancyscript{J}$-順序の乗数探索問題が xNPsearch-完全であることを証明するが、$\fancyscript{R}$ および $\fancyscript{L}$-順序問題は NP = coNP でない限り xNPsearch に属しない。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 入力が有限生成集合上の語である場合、$M_{k,1}$ における $\fancyscript{J}$-順序を決定する計算複雑性は何か？
• RQ2 標準的生成子ではなく回路型生成子を用いた場合、$M_{k,1}$ における $\fancyscript{D}$-関係を決定する複雑性はどのように変化するか？
• RQ3 $\fancyscript{J}$-順序の乗数探索問題は、既知の複雑性クラスに分類可能か？ これは解の構造に何を示唆するか？
• RQ4 新たに導入された xNPsearch クラスは、解のサイズが無限大になり得る探索問題をどのように捉えているか？
• RQ5 部分回路の像のサイズおよび像のサイズ modulo $h$ 問題は、$\bigcirc\bullet{\rm NP}$ および $\bigoplus_h\bullet{\rm NP}$ のような数え上げ複雑性クラスとどのように関係しているか？

主な発見

• 入力が有限生成集合上の語である場合、$M_{k,1}$ における $\fancyscript{J}$-順序を決定することは P に属する。
• 回路型生成集合が用いられる場合、$\fancyscript{J}$-順序を決定することは coDP-完全である。
• $\fancyscript{J}$-順序の乗数探索問題は xNPsearch-完全であり、これは NP = coNP でない限り標準的な NPsearch を超えることを示唆する。
• $\fancyscript{R}$ および $\fancyscript{L}$-順序の乗数探索問題は、NP = coNP でない限り xNPsearch に属しない。これは、それらが本質的により難しいことを示唆する。
• 回路型生成集合を用いた $M_{k,1}$ における $\fancyscript{D}$-関係を決定することは $\bigoplus_{k-1}\bullet{\rm NP}$-完全である。
• ${\rm Inv}_{k,1}$ において回路型生成集合を用いた場合、$\fancyscript{D}$-同値を決定することは $\bigoplus_{k-1}{\rm P}$-完全である。