[論文レビュー] The Three Dimensional Viscous Camassa-Holm Equations, and Their Relation to the Navier-Stokes Equations and Turbulence Theory

Ciprian Foiaş, Darryl D. Holm+1 more|ArXiv.org|Mar 23, 2001

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 28被引用数 49

ひとこと要約

本稿は、周期的境界条件下における3次元粘性カマッサ＝ホルム（NS-$\alpha$）方程式について、解の動的挙動が $\sim (L/\ell_\epsilon)^3$ 個の自由度に支配されることを示し、グローバル正則性と有限次元吸引子の推定を確立した。これはランダウ＝リフシッツの乱流理論と整合的である。さらに、$\alpha_1 \to 0$ のとき、NS-$\alpha$モデルの解が3次元ナビエ＝ストークス方程式の弱解に収束することを証明し、Reynolds平均化ナビエ＝ストークス流れの閉じ込めモデルとしての役割を支持する。

ABSTRACT

We show here the global, in time, regularity of the three dimensional viscous Camassa-Holm (Lagrangian Averaged Navier-Stokes-alpha) equations. We also provide estimates, in terms of the physical parameters of the equations, for the Hausdorff and fractal dimensions of their global attractor. In analogy with the Kolmogorov theory of turbulence, we define a small spatial scale, \ell_ε, as the scale at which the balance occurs in the mean rates of nonlinear transport of energy and viscous dissipation of energy. Furthermore, we show that the number of degrees of freedom in the long-time behavior of the solutions to these equations is bounded from above by (L/\ell_{epsilon})^3, where L is a typical large spatial scale (e.g., the size of the domain). This estimate suggests that the Landau-Lifshitz classical theory of turbulence is suitable for interpreting the solutions of the NS-alpha equations. Hence, one may consider these equations as a closure model for the Reynolds averaged Navier-Stokes equations (NSE). We study this approach, further, in other related papers. Finally, we discuss the relation of the NS-alpha model to the NSE by proving a convergence theorem, that as the length scale alpha tends to zero a subsequence of solutions of the NS-alpha equations converges to a weak solution of the three dimensional NSE.

研究の動機と目的

• 周期的境界条件下における3次元粘性カマッサ＝ホルム（NS-$\\alpha$）方程式の解のグローバル存在および正則性を確立すること。
• NS-$\alpha$方程式のグローバル吸引子のハウスドルフ次元およびフラクタル次元を物理的パラメータの観点から推定すること。
• 非線形輸送と粘性散逸のエネルギーバランスのスケール $\ell_\epsilon$ に対応する $ (L/\ell_\epsilon)^3 $ に等しい自由度の数を特定することで、NS-$\alpha$モデルを乱流理論と関連付けること。
• $\alpha_1 \to 0$ のとき、NS-$\alpha$方程式の解が3次元ナビエ＝ストークス方程式の弱解に収束することを証明すること。

提案手法

• Sobolev空間におけるエネルギー推定と一様バウンドを用いて、NS-$\alpha$方程式の解のグローバル正則性を証明する。
• ランダウ＝リフシッツの乱流理論を応用し、自由度の数を $ (L/\ell_\epsilon)^3 $ と解釈する。ここで $\ell_\epsilon$ は非線形エネルギー輸送と粘性散逸がバランスするスケールとして定義される。
• オービンのコンパクト性定理を用いて、$\alpha_1 \to 0$ のときの解の収束する部分列を抽出する。
• $\alpha_1$ に依存しない一様推定式 $ \|u_{\alpha_1}\|_{L^2([0,T];V)} $、$ \|u_{\alpha_1}\|_{L^2([0,T];H)} $、および $ \|A^{-1} du_{\alpha_1}/dt\|_{L^2([0,T];D(A)')} $ を導出する。
• 方程式 $ \frac{du_{\alpha_1}}{dt} + \nu A u_{\alpha_1} + (I + \alpha_1^2 A)^{-1} \tilde{B}(u_{\alpha_1}, v_{\alpha_1}) = (I + \alpha_1^2 A)^{-1} f $ を用いて、双対空間における時間微分のバウンドを導出する。
• 補題1を用いて非線形項 $ \tilde{B}(u_{\alpha_1}, v_{\alpha_1}) $ を制御し、$ |A^{-1}\tilde{B}| \leq c \lambda_1^{-1/4} \|u_{\alpha_1}\| |v_{\alpha_1}| $ の形にすることで、一様可積分性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 3次元粘性カマッサ＝ホルム（NS-$\\alpha$）方程式は、すべての時間においてグローバルで正則な解をもつか？
• RQ2 NS-$\alpha$方程式のグローバル吸引子のフラクタル次元およびハウスドルフ次元は何か？また、物理的パラメータとどのように関係するか？
• RQ3 NS-$\alpha$方程式の長時間ダイナミクスにおける自由度の数は、非線形エネルギー輸送と粘性散逸のバランスが取れるスケール $\ell_\epsilon$ を用いて $ (L/\ell_\epsilon)^3 $ と推定できるか？
• RQ4 $\alpha_1 \to 0$ のとき、NS-$\alpha$モデルは3次元ナビエ＝ストークス方程式の弱解に収束するか？

主な発見

• NS-$\alpha$方程式は、すべての時間においてグローバルで正則な解をもつ。$ |u_{\alpha_1}(t)|^2 + \alpha_1^2 \|u_{\alpha_1}(t)\|^2 \leq k_1 $ および $ \nu \int_0^T (\|u_{\alpha_1}(s)\|^2 + \alpha_1^2 |Au_{\alpha_1}(s)|^2) ds \leq \bar{k}_2(T) $ という一様バウンドが成り立つ。
• グローバル吸引子のフラクタル次元およびハウスドルフ次元は、$ (L/\ell_\epsilon)^3 $ 以下で上から抑えられる。ここで $\ell_\epsilon$ は非線形エネルギー輸送と粘性散逸がバランスするスケールである。
• NS-$\alpha$方程式の長時間ダイナミクスにおける自由度の数は $ (L/\ell_\epsilon)^3 $ と推定され、ランダウ＝リフシッツの乱流理論と整合的である。
• $\alpha_1 \to 0$ のとき、解 $u_{\alpha_1^j}$ の部分列が $L^2([0,T];H)$ で強く収束し、$L^2([0,T];V)$ で弱く収束する。その極限関数 $u$ は3次元ナビエ＝ストークス方程式の弱解である。
• $v_{\alpha_1^j} = (I + \alpha_1^2 A)^{-1} u_{\alpha_1^j}$ は $L^2([0,T];V')$ で強く収束し、$[0,T]$ almost everywhere において $v(t) = u(t)$ となる。
• 非線形項 $\tilde{B}(u_{\alpha_1^j}, v_{\alpha_1^j})$ は $L^2([0,T]; D(A)')$ で弱収束し、極限で $B(u,u)$ に一致する。これにより、ナビエ＝ストークスの力学と極限において整合的であることが確認される。