[論文レビュー] The time-dependent Schroedinger equation, Riccati equation and Airy functions

Nathan A. Lanfear, Sergeĭ K. Suslov|ArXiv.org|Mar 20, 2009

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics参考文献 51被引用数 20

ひとこと要約

この論文は、アイル関数とリッカティ方程式の解を用いて、二次ポテンシャルを伴う時間に依存するシュレーディンガー方程式の正確なグリーン関数を構成する。座標表現および運動量表現における明示的な伝搬関数を導出し、初期値問題（カウチ問題）を解き、超幾何関数およびバーグマン関数との関係を確立する。

ABSTRACT

We construct the Green functions (or Feynman's propagators) for the Schroedinger equations of the form $iψ_{t}+{1/4}ψ_{xx}\pm tx^{2}ψ=0$ in terms of Airy functions and solve the Cauchy initial value problem in the coordinate and momentum representations. Particular solutions of the corresponding nonlinear Schroedinger equations with variable coefficients are also found. A special case of the quantum parametric oscillator is studied in detail first. The Green function is explicitly given in terms of Airy functions and the corresponding transition amplitudes are found in terms of a hypergeometric function. The general case of quantum parametric oscillator is considered then in a similar fashion. A group theoretical meaning of the transition amplitudes and their relation with Bargmann's functions is stablished.

研究の動機と目的

• 時間に依存するシュレーディンガー方程式に変動する二次ハミルトニアンをもつ初期値問題（カウチ問題）を解くこと。
• 座標表現および運動量表現における明示的なグリーン関数（伝搬関数）を導出すること。
• 解と特殊関数（アイル関数、超幾何関数、バーグマン関数）との関係を確立すること。
• 特徴づけ方程式であるリッカティ方程式の解を用いて、量子パラメトリックオシレーターの可積分ケースを分類すること。
• 時間に依存する量子力学における数値手法の検証に有用な正確な解を提供すること。

提案手法

• 二次位相関数 $ S(x,y,t) = \alpha(t)x^2 + \beta(t)xy + \gamma(t)y^2 $ を用いたアンザッツ $ \psi = A(t) e^{iS(x,y,t)} $ を採用する。
• 時間に依存するシュレーディンガー方程式を、$ \alpha(t), \beta(t), \gamma(t) $ に関するリッカティ方程式の系に還元し、最初の式は $ \frac{d\alpha}{dt} - t + \alpha^2 = 0 $ である。
• 変数変換 $ \alpha = \mu'/\mu $ を用いて、リッカティ方程式を二階線形常微分方程式 $ \mu'' - t\mu = 0 $ に変換し、アイル関数を用いて解ける。
• 基本解 $ \mu(t) $ を用いて、グリーン関数を $ G(x,y,t) = \frac{1}{\sqrt{\pi i a(t)}} \exp\left(i \frac{a'(t)x^2 - 2xy + b(t)y^2}{a(t)} \right) $ として表現する。ここで $ a(t), b(t) $ はアイル関数である。
• ゲージ変換および群論的手法を用いて、遷移振幅をバーグマン関数に関連付ける。
• クラウゼンの公式およびガンマ関数の反転恒等式を用いて、超幾何関数の変換公式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時間に依存するシュレーディンガー方程式に $ \pm t x^2 $ ポテンシャルをもつ場合のグリーン関数をどのように明示的に構成できるか？
• RQ2 二次シュレーディンガーハミルトニアンに由来するリッカティ方程式を解く際に、アイル関数が果たす役割は何か？
• RQ3 量子パラメトリックオシレーターの遷移振幅は、どのように超幾何関数およびバーグマン関数に関連しているか？
• RQ4 リッカティ方程式の解が、時間に依存するシュレーディンガー方程式の可積分ケースをどのように分類するか？
• RQ5 伝搬関数から得られる遷移振幅の群論的意味は何か？

主な発見

• シュレーディンガー方程式 $ i\psi_t + \frac{1}{4}\psi_{xx} + t x^2 \psi = 0 $ のグリーン関数は、$ a(t), b(t) $ がアイル関数であるとして、$ G(x,y,t) = \frac{1}{\sqrt{\pi i a(t)}} \exp\left(i \frac{a'(t)x^2 - 2xy + b(t)y^2}{a(t)} \right) $ として明示的に与えられる。
• 導出された伝搬関数を用いて、座標表現および運動量表現の両方で初期値問題の解が得られる。
• 量子パラメトリックオシレーターの遷移振幅は、超幾何関数 $ {}_2F_1 $ で表現され、クラウゼンの公式およびガンマ関数の恒等式を用いて明示的な変換公式が導出された。
• 遷移振幅の群論的意味は、バーグマン関数との関係を通じて確立され、解が表現論と結びついていることが示された。
• アイル関数 $ a(t) $ と $ b(t) $ のロンスキアンは $ -1 $ であり、その導関数は $ W(a'(t), b'(t)) = t $ を満たす。これにより、線形独立性と正規化が確認された。
• リッカティ方程式の系は、方程式 $ \mu'' - t\mu = 0 $ のアイル関数解を用いて解かれる。初期条件 $ \mu(0) = 0 $、$ \mu'(0) = 1/2 $ を満たし、閉形式での完全な伝搬関数が得られた。