[論文レビュー] The time factor in the semi-classical approach to the Hawking radiation

Marco Pizzi|ArXiv.org|Apr 29, 2009

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 6被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、半古典的トンネル効果によるホーキング放射の図式が、作用における時間座標の虚数的寄与を無視しているため、根本的に誤りであると主張している。厳密に全作用 $ S = -Et + W(r) $ を分析することで、半径方向と時間的成分の虚数的寄与が完全に相殺され、結果としてネット虚数作用がゼロとなることが示され、この枠組みではトンネル効果が成立せず、したがってホーキング放射も発生しないことが示唆される。本論文は、アンゲベンおよびアフメドフの手法における誤った符号表記を特定することで、『2倍の問題』を解消した。

ABSTRACT

The Hawking radiation in the semi-classical approach is re-considered. In the so-called "Angheben method" for the calculation of the imaginary part of the action it was missed the temporal part contribution. This has been recently noticed by Akhmedov et extsl{al.}, but also there the time part was not properly considered, the sign being reversed. We show that using the semi-classical approach on a fixed background it is not possible to find any tunneling effect from the interior to the exterior of the Schwarzschild black hole. The same critic applies to the derivations which use the Painleve coordinates: also in this procedure it was missed the temporal factor contribution. In this way it is naturally solved also the "factor-two-problem".

研究の動機と目的

• 時間的寄与を含めた全作用 $ S = -Et + W(r) $ を用いて、半古典的ホーキング放射の導出を再表現すること。
• アフメドフらが以前に報告した時間依存項における符号誤りを特定・是正すること。
• トンネル効果に基づくホーキング放射の導出において長年残る『2倍の問題』を解消すること。
• シュヴァルツシルト事象の重力場を固定した場合に、ホーキング半径を越える軌道の作用に虚数部が生じないことを示し、トンネル効果が不可能であることを示すこと。
• 固定された背景上での半古典的トンネル効果アプローチが、ホーキング放射のメカニズムとして物理的に妥当であるかどうかを検証すること。

提案手法

• ハミルトニアン・ジャコビ法を用い、作用を $ S = -Et + W(r) $ に分解し、$ t $ と $ r $ を粒子の軌道関数として扱う。
• 時間発展の整合性を保つために、$ \partial S / \partial E = \text{const} $ の条件から $ t(r) $ を導出する。
• ホーキング半径 $ r_H $ 近傍における $ W(r) $ と $ -E\Delta t $ の虚数部を明示的に計算し、完全な相殺が生じることを示す。
• 複素関数の線積分（コーシーの積分公式）を用いて $ \text{Im}(\Delta S) = \frac{1}{2} \oint_{r_H} \mathcal{L}(r) \, dr $ を評価し、ラグランジアンにホーキング半径上に極が存在しないことを確認する。
• ペインレーベ座標系への拡張を行い、$ \text{Im}(\Delta W_P) $ と $ \text{Im}(-E\Delta t_P) $ がともに非ゼロだが符号が逆であり、合計でゼロとなることを示す。
• ペインレーベ座標系における質量ゼロ極限を用い、パルフ・ウィルツェクの結果と整合することを確認するとともに、時間項が不可欠であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 なぜ、障害物が存在しないにもかかわらず、以前のトンネル効果に基づくホーキング放射の導出では非ゼロの虚数作用が得られるのか？
• RQ2 半古典的トンネル効果図式において、時間座標の寄与は正しい形でどのように作用に寄与するのか？
• RQ3 アフメドフ らの時間項の取り扱いにおける符号誤りが、最終的な結果にどのように影響を与えるのか？
• RQ4 なぜ『2倍の問題』が異なる座標系で生じるのか？時間項の適切な取り扱いによってこの問題は解消可能か？
• RQ5 固定されたシュヴァルツシルト背景上での半古典的トンネル効果メカニズムは、物理的に妥当なホーキング放射の生成機構と見なせるのか？

主な発見

• 作用の虚数部 $ \text{Im}(\Delta S) $ は、$ W(r) $ からの虚数的寄与が $ -E\Delta t $ の虚数的寄与と完全に相殺されることにより、恒等的にゼロとなる。
• 半径方向作用 $ W(r) $ はホーキング半径近傍で $ \pm i 2\pi M E $ を寄与するが、これは時間項 $ -E\Delta t $ が $ \mp i 2\pi M E $ を寄与することで完全に相殺される。
• トンネル効果に基づく導出における『2倍の問題』は、パrameterの調整によって解消されるのではなく、時間寄与の符号を是正することで解決される。アフメドフ らの研究では、この符号が逆転していた。
• ペインレーベ座標系では、$ \Delta W_P $ と $ -E\Delta t_P $ の虚数部はそれぞれ $ 4\pi M E $ と $ -4\pi M E $ であり、合計はゼロとなる。これにより整合性が確認された。
• ラグランジアンがホーキング半径上に極を持たないことは、準位障壁を越える遷移が存在しないことを示し、半古典的図式においてトンネル効果が成立しないことを否定する。
• 本論文は、固定背景上での半古典的トンネル効果アプローチはホーキング放射を生成できないと結論づけ、この広く用いられている導出法の根拠を揺るがすものである。