[論文レビュー] The topological complexity of Cantor attractors in one-dimensional dynamics

Simin Li, Weixiao Shen|arXiv (Cornell University)|Jul 12, 2012

Mathematical Dynamics and Fractals被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、1次元力学系におけるカントール吸引状態の位相的複雑度を調査し、非平坦な $C^3$ 一様マップにこのような吸引状態を有する場合、任意の開被覆 $ olimits\mathcal{U}$ に関連する複雑度関数 $p(\mathcal{U}, n)$ が漸近的に $n\log n$ の割合で増加することを示している。さらに、$p(\mathcal{U}, n)$ が一様に有界のままである非再帰的マップを構成し、非一様的双曲的系における複雑度の期待とは対照的に、そのような構造が成立することを示している。

ABSTRACT

For a non-flat $C^3$ unimodal map with a Cantor attractor, we show that for any open cover $\mathcal U$ of this attractor, the complexity function $p(\mathcal U, n)$ is of order $n\log n$. In the appendix, we construct a non-renormalizable map with a Cantor attractor for which $p(\mathcal{U}, n)$ is bounded from above for any open cover $\mathcal{U}$.

研究の動機と目的

• 非平坦な $C^3$ 一様マップから生じるカントール吸引状態の位相的複雑度を分析すること。
• このような吸引状態の開被覆 $\mathcal{U}$ に関連する複雑度関数 $p(\mathcal{U}, n)$ の漸近的成長率を特定すること。
• カントール吸引状態を有する非再帰的系において、複雑度が有界に保たれる可能性があるかどうかを検討し、双曲的力学における既知のパターンに疑問を呈すること。

提案手法

• 位相的および力学系の技法を用いて、$C^3$ 一様マップにおけるカントール吸引状態の構造を分析する。
• 複雑度関数 $p(\mathcal{U}, n)$ を用いる。ここで、$p(\mathcal{U}, n)$ は、$\mathcal{U}$ の $n$ 重の細分から成る集合の最小数で、吸引状態を被覆するものである。
• 記号的力学および歪度推定の結果を適用し、$C^3$ の設定における $p(\mathcal{U}, n)$ の成長を制限する。
• 臨界軌道の挙動と帰還時間の精密な制御を通じて、カントール吸引状態を有する特定の非再帰的 $C^3$ 一様マップを構築する。
• 再帰的でないことを用いて、通常複雑度の増加を引き起こす自己相似構造の出現を防ぐ。
• 構築された例において、任意の開被覆 $\mathcal{U}$ とすべての $n$ に対して、$p(\mathcal{U}, n)$ が一様に有界であることを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非平坦な $C^3$ 一様マップにおけるカントール吸引状態の開被覆に関する位相的複雑度関数 $p(\mathcal{U}, n)$ の漸近的成長率は何か？
• RQ2 非再帰的 1 次元マップが、任意の開被覆において一様に有界な位相的複雑度を示すカントール吸引状態を有し得るか？
• RQ3 再帰的でない状態が、カントール吸引状態を有する系における複雑度の増加に与える影響は何か？
• RQ4 $C^3$ の滑らかさ条件が、カントール吸引状態を有する 1 次元マップにおける複雑度の増加率に及ぼす影響はどの程度か？

主な発見

• 非平坦な $C^3$ 一様マップにカントール吸引状態を有する任意の開被覆 $\mathcal{U}$ に対して、複雑度関数 $p(\mathcal{U}, n)$ は $n\log n$ の割合で増加する。
• $n\log n$ の成長率は、このような系における漸近的オーダーとして確立され、特定のレベルの力学的複雑度を示している。
• 任意の開被覆 $\mathcal{U}$ に対して、すべての $n$ に対して $p(\mathcal{U}, n)$ が一様に有界である、カントール吸引状態を有する非再帰的 $C^3$ 一様マップを明示的に構築した。
• この有界な複雑度は、非一様双曲的系におけるカントール吸引状態が通常、無限大に発散するという期待とは対照的であり、低複雑度の動的系の新たなクラスを示している。
• 構築された例は、再帰的でないことが、カントール集合吸引状態が存在する中でも、顕著に低い位相的複雑度をもたらす可能性があることを示している。
• 結果から、$C^3$ の滑らかさと非平坦性が、$n\log n$ の複雑度の上限を達成するために不可欠であることが示された。弱い正則性では、成長率が変化する可能性がある。