[論文レビュー] The Topological Fundamental Group and Hoop Earring Spaces

Jeremy Brazas|arXiv (Cornell University)|Oct 19, 2009

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、完全に経路に依存しない、ハウスドルフでベースのない空間 $X$ の縮小懸垂として定義されるホーブ・アーリング空間の位相的基本群 $\pi_{1}^{ ext{top}}$ を、自己同型を備えた自由位相的モノイド $M(X)$ を通じてループ空間の商写像を因数分解することによって計算する。主な結果として、$X$ が正則でないとき $\pi_{1}^{ ext{top}}(\Sigma X_{+}, x)$ は $T_1$ ではあるが位相群ではないことが示され、$\pi_{1}^{ ext{top}}$ が位相群の圏への函手であるという主張に対する反例を提供する。

ABSTRACT

The topological fundamental group $π_{1}^{top}$ is a topological invariant that assigns to each space a quasi-topological group and is discrete on spaces which are well behaved locally. For a totally path-disconnected, Hausdorff, unbased space $X$, we compute the topological fundamental group of the "hoop earring" space of $X$, which is the reduced suspension of $X$ with disjoint basepoint. We do so by factorizing the quotient map $Ω(ΣX_{+},x) o π_{1}^{top}(ΣX_{+},x)$ through a free topological monoid with involution $M(X)$ such that the map $M(X)\shortrightarrow π_{1}^{top}(ΣX_{+},x)$ is also a quotient map. $π_{1}^{top}(ΣX_{+},x)$ is T1 and an embedding $X\shortrightarrow π_{1}^{top}(ΣX_{+},x)$ illustrates that $π_{1}^{top}(ΣX_{+},x)$ is not a topological group when $X$ is not regular. These hoop earring spaces provide a simple class of counterexamples to the claim that $π_{1}^{top}$ is a functor to the category of topological groups.

研究の動機と目的

• 完全に経路に依存しない、ハウスドルフでベースのない空間 $X$ の縮小懸垂として構成されるホーブ・アーリング空間の位相的基本群 $\pi_{1}^{\text{top}}$ を計算すること。
• $\pi_{1}^{\text{top}}(\Sigma X_{+}, x)$ の位相的構造を分析し、それが位相群を形成するかどうかを特定すること。
• ホーブ・アーリング空間を用いて明示的な反例を構成することで、$\pi_{1}^{\text{top}}$ が位相群の圏への函手でないことを示すこと。
• 自由位相的モノイドと自己同型を備えた $M(X)$ を通じて、商写像 $\Omega(\Sigma X_{+}, x) \to \pi_{1}^{\text{top}}(\Sigma X_{+}, x)$ の因数分解を確立すること。

提案手法

• 基点付きループ空間 $\Omega(\Sigma X_{+}, x)$ から $\pi_{1}^{\text{top}}(\Sigma X_{+}, x)$ への商写像を、自己同型を備えた自由位相的モノイド $M(X)$ を通じて因数分解し、$M(X)$ を中間構造として扱う。
• $M(X)$ を $X$ によって生成される自己同型を備えた自由位相的モノイドと定義し、写像 $M(X) \to \pi_{1}^{\text{top}}(\Sigma X_{+}, x)$ が商写像であることを保証する位相を備える。
• $X$ の位相的性質——特に完全な経路に依存しない性質とハウスドルフ性——を用いて、$\Sigma X_{+}$ 及びそのループ空間の構造を分析する。
• 点の閉包性を分析することで、$\pi_{1}^{\text{top}}(\Sigma X_{+}, x)$ が $T_1$ であることを示す。
• $X \to \pi_{1}^{\text{top}}(\Sigma X_{+}, x)$ の埋め込みを構成することで、$X$ が正則でないときの群位相が非離散であることを示す。
• $X$ の正則性の欠如を活用し、$\pi_{1}^{\text{top}}(\Sigma X_{+}, x)$ が位相群でないことを示す。これにより、位相群の圏への函手性が破れる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 完全に経路に依存しないかつハウスドルフな空間 $X$ に対して、ホーブ・アーリング空間 $\Sigma X_{+}$ の位相的基本群 $\pi_{1}^{\text{top}}$ の構造は何か？
• RQ2 $X$ が正則でないとき、$\pi_{1}^{\text{top}}(\Sigma X_{+}, x)$ は位相群であるか？
• RQ3 商写像 $\Omega(\Sigma X_{+}, x) \to \pi_{1}^{\text{top}}(\Sigma X_{+}, x)$ は、自己同型を備えた自由位相的モノイド $M(X)$ を通じて因数分解可能か？
• RQ4 埋め込み $X \to \pi_{1}^{\text{top}}(\Sigma X_{+}, x)$ の存在が、$X$ が正則でないとき $\pi_{1}^{\text{top}}(\Sigma X_{+}, x)$ が位相群でないことを示唆するか？
• RQ5 ホーブ・アーリング空間は、$\pi_{1}^{\text{top}}$ が位相群の圏への函手であるという主張に対する反例を提供するか？

主な発見

• 位相的基本群 $\pi_{1}^{\text{top}}(\Sigma X_{+}, x)$ は $T_1$ である。これは、群位相において単一の点が閉じていることを示している。
• 写像 $M(X) \to \pi_{1}^{\text{top}}(\Sigma X_{+}, x)$ は商写像である。これにより、$M(X)$ が $X$ 上の自己同型を備えた自由位相的モノイドの位相的商として確立される。
• $X \to \pi_{1}^{\text{top}}(\Sigma X_{+}, x)$ の埋め込みが存在する。これは、$X$ が正則でないときの群位相が非離散であることを示している。
• $X$ が正則でないとき、$\pi_{1}^{\text{top}}(\Sigma X_{+}, x)$ は位相群でない。これは、誘導位相の下で群演算が連続でないためである。
• ホーブ・アーリング空間 $\Sigma X_{+}$ は、$\pi_{1}^{\text{top}}$ が位相群の圏への函手であるという主張に対する反例を提供する。
• $M(X)$ を通じた因数分解は、$\pi_{1}^{\text{top}}(\Sigma X_{+}, x)$ の構造を理解するための明示的な位相的モデルを提供し、正則でない場合の非群的性質を明らかにする。