[論文レビュー] The topology of positive scalar curvature

Thomas Schick|arXiv (Cornell University)|May 16, 2014

Advanced Operator Algebra Research参考文献 20被引用数 36

ひとこと要約

本調査は、多様体上の正スカラー曲率計量の位相とC*-代数K理論および大規模なインデックス理論における解析的道具を結びつける体系的なプログラムを確立する。高次インデックス理論と粗い幾何学が、正スカラー曲率に対する新たな障害を提供することを示し、正スカラー曲率空間のホモトピー群における無限位数の元を構成し、このような計量の位相をサイクルホモロジーへ写像する枠組みを提案することで、一次および二次不変量によるより深い分類を可能にする。

ABSTRACT

In this survey article, given a smooth closed manifold M we study the space of Riemannian metrics of positive scalar curvature on M. A long-standing question is: when is this space non-empty (i.e. when does M admit a metric of positive scalar curvature)? More generally: what is the topology of this space? For example, what are its homotopy groups? Higher index theory of the Dirac operator is the basic tool to address these questions. This has seen tremendous development in recent years, and in this survey we will discuss some of the most pertinent examples. In particular, we will show how advancements of large scale index theory (also called coarse index theory) give rise to new types of obstructions, and provide the tools for a systematic study of the existence and classification problem via the K-theory of C*-algebras. This is part of a program "mapping the topology of positive scalar curvature to analysis". In addition, we will show how advanced surgery theory and smoothing theory can be used to construct the first elements of infinite order in the k-th homotopy groups of the space of metrics of positive scalar curvature for arbitrarily large k. Moreover, these examples are the first ones which remain non-trivial in the moduli space of such metrics.

研究の動機と目的

• 正スカラー曲率計量の位相をC*-代数K理論および大規模インデックス理論を通じて解析に結びつける体系的フレームワークの構築を目的とする。
• 古典的なローゼンバーグインデックスを超えた新たな障害を検出できるように、高次インデックス理論を拡張することを目的とする。
• 正スカラー曲率計量空間の高次ホモトピー群における無限位数の元を、初めて体系的に構成することを目的とする。
• 正スカラー曲率列をサイクルホモロジーへ写像するプログラムを提案し、二次不変量にアクセスし分類を精緻化することを目的とする。
• 既知のスピン多様体に関する結果が、非スピンおよび拡大可能多様体へどの程度拡張可能かを検討することを目的とし、特に最小曲面法を用いる。

提案手法

• 正スカラー曲率計量空間の解析に、ディラック作用素の高次インデックス理論を基礎的道具として用いる。
• 大規模（粗い）インデックス理論およびバウム＝コンヌ予想を応用し、群C*-代数のK理論を計算し、障害を検出する。
• 高度な手術理論および滑らか化理論を用いて、正スカラー曲率空間のホモトピー群における非自明な元を構成する。
• C*-代数K理論とホッホシュイルトおよびサイクル（コ）ホモロジーを組み合わせ、高次インデックス理論の一次および二次不変量にアクセスする。
• 正スカラー曲率空間の位相をモデル化するための解析的構造集合K*(D*M)を用い、古典的インデックス障害を超えて展開する。
• 正スカラー曲率列をサイクルホモロジーへ写像するプログラムを提案し、分類のための数値不変量を抽出することを目的とする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 大規模インデックス理論は、ローゼンバーグインデックスを超えて、正スカラー曲率計量の存在に対する新たな障害を提供できるか？
• RQ2 正スカラー曲率計量空間の高次ホモトピー群の構造は何か？ また、無限位数の非自明な元を体系的に構成できるか？
• RQ3 最小曲面法を用いて、安定Gromov-Lawson-Rosenberg予想を非スピン多様体へどの程度まで拡張可能か？
• RQ4 C*-代数のK理論とサイクルホモロジーをどのように組み合わせ、正スカラー曲率計量の分類に用いる二次不変量を抽出できるか？
• RQ5 解析的構造集合K*(D*M)は、具体的な幾何的文脈で、正スカラー曲率空間の新たな位相的特徴を検出するために効果的に使用できるか？

主な発見

• 本論文は、高度な手術理論および滑らか化理論を用いて、任意に大きなkに対して、正スカラー曲率計量空間のk番目のホモトピー群における無限位数の非自明な元を、初めて体系的に構成した。
• これらの例は、このような計量のモジュライ空間においても非自明のままであり、正スカラー曲率空間のホモトピー型における初めての安定非自明な元を示している。
• 安定Gromov-Lawson-Rosenberg予想により、ボット多様体Bとの有限回の積をとった後、正スカラー曲率計量の存在は、基本群のC*-代数のK理論におけるローゼンバーグインデックスによって完全に支配されることになる。
• 正スカラー曲率列をサイクルホモロジーへ写像するプログラムは、一次不変量の成功にかかわらず、まだ十分に理解されていない二次不変量にアクセスする道筋として提案されている。
• 解析的構造集合K*(D*M)は、正スカラー曲率空間の位相を研究する上で重要な対象であると特定されたが、その具体的な応用はまだ発展途上である。
• 最小曲面法は、次元≥5の非スピン多様体における唯一の既知の障害技術であり、次元8を超えての拡張は未解決の課題のままである。