[論文レビュー] The topology of scalar curvature

Thomas Schick|arXiv (Cornell University)|May 16, 2014

Advanced Operator Algebra Research参考文献 27被引用数 1

ひとこと要約

この論文は、閉多様体上の正のスカラー曲率をもつリーマン計量の空間の位相を、インデックス理論およびK理論の高度な道具を用いて調査する。大規模インデックス理論を用いて新たな障害を確立し、この空間のホモトピー群における無限大の位数をもつ要素を初めて構成することで、そのグローバル構造と分類に関する画期的な進展をもたらす。

ABSTRACT

Given a smooth closed manifold M we study the space of Riemannian metrics of positive scalar curvature on M. A long-standing question is: when is this space non- empty (i.e. when does M admit a metric of positive scalar curvature)? More generally: what is the topology of this space? For example, what are its homotopy groups? Higher index theory of the Dirac operator is the basic tool to address these questions. This has seen tremendous development in recent years, and in this survey we will discuss some of the most pertinent examples. In particular, we will show how advancements of large scale index theory (also called coarse index theory) give rise to new types of obstructions, and provide the tools for a systematic study of the existence and classication problem via the K-theory of C - algebras. This is part of a program \mapping the topology of positive scalar curvature to analysis. In addition, we will show how advanced surgery theory and smoothing theory can be used to construct the rst elements of innite order in the k-th homotopy groups of the space of metrics of positive scalar curvature for arbitrarily large k. Moreover, these examples are the rst ones which remain non-trivial in the moduli space of such metrics.

研究の動機と目的

• 閉多様体上での正のスカラー曲率をもつリーマン計量の空間の位相を理解すること。
• ディラック作用素の高次インデックス理論を用いて、長年の未解決問題である、このような計量が存在する条件を解明すること。
• C*-代数のK理論を用いて、この空間の位相的構造を解析的不変量へと写像すること。
• 正のスカラー曲率計量空間の高次ホモトピー群における、初めて知られる無限大の位数をもつ要素を構成すること。
• これらの要素が、このような計量のモジュライ空間においても非自明のままであることを示すこと。

提案手法

• ディラック作用素の高次インデックス理論を適用し、正のスカラー曲率計量の存在に対する位相的障害を導出すること。
• 大規模（粗い）インデックス理論を用いて、分類問題のための新たな解析的不変量を構成すること。
• C*-代数のK理論を用いて、正のスカラー曲率計量の空間の位相を体系的に研究するフレームワークを提供すること。
• 高度な手術理論と滑らか化理論を組み合わせ、ホモトピー群における明示的代表元を構成すること。
• 幾何的解析と代数的位相の相互作用を用いて、非自明なホモトピー類を検出すること。
• 『正のスカラー曲率の位相を解析へと写像する』というプログラムを通じて、インデックス理論の解析的不変量を、計量空間の位相的不変量へと写像すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 与えられた閉多様体上に正のスカラー曲率計量が存在するための位相的障害は何か？
• RQ2 大規模インデックス理論は、正のスカラー曲率計量の分類に新たな不変量をどのように提供できるか？
• RQ3 正のスカラー曲率計量空間の高次ホモトピー群の構造は何か？
• RQ4 これらのホモトピー群において、明示的な無限大の位数をもつ要素を構成できるか？
• RQ5 このような要素は、正のスカラー曲率計量のモジュライ空間においても非自明のままであるか？

主な発見

• 本論文は、任意に大きなkに対して、正のスカラー曲率計量空間のk番目のホモトピー群における、初めて知られる無限大の位数をもつ要素を構成した。
• これらの要素は、そのモジュライ空間においても非自明のままであり、真に位相的な複雑性を示している。
• 大規模インデックス理論は、正のスカラー曲率計量の存在に対する新たな解析的障害を提供する。
• C*-代数のK理論の使用により、解析的不変量を用いた体系的な正のスカラー曲率計量の分類が可能になった。
• 手術理論と滑らか化理論の相互作用により、非自明なホモトピー類の明示的構成が可能となった。
• これらの結果は、インデックス理論的道具を用いて、正のスカラー曲率の位相を解析へと写像するというプログラムを前進させた。