[論文レビュー] The topology of spaces of knots

Dev Sinha|arXiv (Cornell University)|Feb 27, 2002

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 28被引用数 28

ひとこと要約

本稿では、次元 ≥4 の多様体内の紐の空間に対して、2 つの弱ホモトピー同値なモデルを構成する：配置空間に基づく写像空間モデルと、コシンプレックスモデル。コシンプレックスモデルは、被覆多様体が単連結であるとき、コホモロジーおよびホモトピー群に収束するスペクトル系列を生じる。明示的な消滅直線が特定され、埋め込み空間のホモトピー群の初の有理数的計算が得られるとともに、ヴァシリエフおよびコンツェビッチの有限型不変量理論と関連づけられる。

ABSTRACT

We present two models for the space of knots which have endpoints at fixed boundary points in a manifold with boundary, one model defined as an inverse limit of spaces of maps between configuration spaces and another which is cosimplicial. These models build on the calculus of isotopy functors and are weakly homotopy equivalent to knot spaces when the ambient dimension is greater than three. The mapping space model, and the evaluation map on which it builds, is suitable for analysis through differential topology. The cosimplicial model gives rise to spectral sequences which converge to cohomology and homotopy groups of spaces of knots when they are connected. We explicitly identify and establish vanishing lines in these spectral sequences.

研究の動機と目的

• 境界付き多様体内の紐の空間の弱ホモトピー同値なモデルを、端点で制約され、接ベクトルが固定された状態で構築すること。
• フーリエ＝マクファーソンの配置空間の完成を用いた、ホモトピー群およびコホモロジー群への計算的アクセスを可能にするコシンプレックスモデルの開発。
• 連結性および次元の条件の下で、紐の空間のコホモロジーおよびホモトピー群に収束するスペクトル系列の確立。
• これらのスペクトル系列における明示的な消滅直線の特定により、埋め込み空間のホモトピー群の初の有理数的計算が可能になること。
• スペクトル系列の比較を通じて、モデルがヴァシリエフおよびコンツェビッチの有限型不変量理論とどのように関連するかを明らかにすること。

提案手法

• アイソトピー関手のグッドウィルの微分積分学を用いて、多様体内の紐の空間のモデルを構築する。
• 配置空間のフーリエ＝マクファーソン完成の間の写像のホモトピー極限として、写像空間モデルを構築する。
• 修正された配置空間と退化写像を用いたコシンプレックスモデルの開発。構造をインdeXするための木の圏を用いる。
• 配置空間およびその完成に関連するファイバー系列のホモロジーを解析するため、エイレンベルク＝ムーアおよびレーラー＝セルのスペクトル系列を適用する。
• スペクトル系列の自然性を用いて、包含写像 $ C_p(M) \to M^{\times p} $ におけるベース、ファイバー、スターリングのホモロジーを比較する。
• 連結性および次元パrameterを用いて、コシンプレックススペクトル系列における正規化ホモロジーの消滅条件を同定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高次元多様体内の紐の空間は、配置空間およびその完成を用いてどのようにモデル化できるか？
• RQ2 コシンプレックスモデルから生じるスペクトル系列は何か？ そして、どのような条件下で収束するか？
• RQ3 紐の空間のコホモロジーおよびホモトピースペクトル系列における明示的な消滅直線は何か？
• RQ4 これらのスペクトル系列は、ヴァシリエフの有限型不変量理論およびコンツェビッチの理論とどのように関係するか？
• RQ5 これらのモデルを用いて、埋め込み空間の有理ホモトピー群を計算可能か？ また、$ E^1 $-ページの構造は何か？

主な発見

• コシンプレックスモデルは、$ M $ が単連結で $ \text{dim}(M) \neq 3 $ のとき、$ \text{Emb}(I,M) $ のコホモロジーおよびホモトピー群に収束するスペクトル系列を生じる。
• コホモロジースペクトル系列に下側の消滅直線が確立され、その傾きは $ \frac{m-1}{2} $ である。ここで $ m $ は $ M $ の次元を表す。
• コシンプレックス空間の正規化ホモロジーに関して、$ q < \frac{m-1}{2}p $ のとき消滅条件が成立し、スペクトル系列の収束が保証される。
• コホモロジースペクトル系列の消滅直線は、多様体の連結性に応じて $ \text{Emb}(I, I^m) $ または $ \text{Hom}(\text{pt}, \text{pt}) $ のものと一致する。
• $ \text{Emb}(I, I^m) $ の有理コホモロジースペクトル系列の $ E^1 $-項は、$ \frac{m-1}{2}p $ および $ (k+1)p $ の小さい方より下で消える。ここで $ k $ は $ M $ の連結性を表す。
• モデルは、埋め込み空間のホモトピー群の初の有理数的計算を提供し、コンツェビッチの $ E^1 $-項に関する予想を裏付ける。