[論文レビュー] The topology of spaces of probability measures, I

Тарас Банах|arXiv (Cornell University)|Dec 28, 2011

Advanced Topology and Set Theory参考文献 10被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、コンパクトハウスドルフ空間からティコノフ空間へ確率測度の古典的関手 $P$ を拡張する2つの関手 $\hat{P}$ と $P_\tau$ を導入し、研究する。$\hat{P}(X)$ は $X$ 上のレドン確率測度の空間であり、$P_\tau(X)$ は $X$ 上の $\tau$-滑らか確率測度の空間である。これらが密度、重み、距離化可能性、およびバーレ／可測構造といった重要な位相的および集合論的性質を保存する well-behaved な位相的関手であることが示された。

ABSTRACT

For a Tychonoff space $X$, the constructions $\hat P(X)$ and $P_τ(X)$ of the spaces of probability Radon measures and probability $τ$-smooth measures on $X$ are considered. It is proved that these constructions determine functors in the category of Tychonoff spaces, which extend the functor $P$ of probability measures in the category of compacta. In this part we investigate general topological properties of the spaces $\hat P(X)$ and $P_τ(X)$, as well as categorial properties of the functors $\hat P$ and $P_τ$.

研究の動機と目的

• コンパクト空間からなる古典的関手 $P$ を、より広いティコノフ空間の圏へ拡張すること。
• 中間的構成の2つ、すなわちティコノフ空間 $X$ 上のレドン確率測度の空間 $\hat{P}(X)$ と $\tau$-滑らか確率測度の空間 $P_\tau(X)$ の定義と研究を行うこと。
• $\hat{P}$ と $P_\tau$ がコンパクト空間上で古典的 $P$ 関手を拡張するティコノフ空間の圏における関手であることを確立すること。
• $\hat{P}(X)$ と $P_\tau(X)$ の位相的およびカテゴリカル性質を調査し、密度、重み、距離化可能性、バーレ集合の保存を含むこと。
• $p$-パラコンパクト性、チェホフ完全性、および射影階層のレベルといった重要な構造的性質を保存するかどうかを示すこと。

提案手法

• 上部 $\mu$-測度 $\mu_*(X)$ を用いて、$\beta X$ 内の $X$ の上部 $\mu$-測度が 1 に等しい確率測度 $\mu$ の集合として $\hat{P}(X)$ を定義する。ここで $\beta X$ は $X$ のストーン・チェッホ補完である。
• 下部 $\mu$-測度 $\mu^*(X)$ を用いて、$\beta X$ 内の $X$ の下部 $\mu$-測度が 1 に等しい確率測度 $\mu$ の集合として $P_\tau(X)$ を定義する。
• 連続写像を保存し、合成と整合性を持つことから、$\hat{P}$ と $P_\tau$ がティコノフ空間の圏から自身への関手であることを証明する。
• 有界連続関数のバナッハ空間 $C_b(X)$ 上での積分による測度の表現を用いて、レドン測度および $\tau$-滑らか測度を特徴付ける。
• $P_\beta(X) \subset \hat{P}(X) \subset P_\tau(X) \subset P(\beta X)$ を示し、コンパクトの場合には等号が成り立つことを示す。
• 記述的集合論および測度論の結果、特にバーレ集合や射影階層の性質を用いて、$\hat{P}$ による集合の像を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクト空間上の確率測度の古典的関手 $P$ を、密度、重み、距離化可能性、および $p$-パラコンパクト性といった重要な位相的およびカテゴリカル性質を保存する形で、ティコノフ空間へどのように拡張できるか。
• RQ2 上部および下部 $\mu$-測度を用いて $P(\beta X)$ の部分空間として定義される $\hat{P}(X)$ と $P_\tau(X)$ の位相的およびカテゴリカル性質は何か。
• RQ3 関手 $\hat{P}$ は密度、重み、距離化可能性、$p$-パラコンパクト性といった基本的な位相的不変量を保存するか。
• RQ4 メトリクスコンパクト空間の文脈において、関手 $\hat{P}$ と $P_\tau$ は射影階層およびバーレ集合とどのように関係するか。
• RQ5 ティコノフ空間上のレドン測度のテンソル積が、積空間上でのレドン測度へ拡張されるための条件は何か。

主な発見

• レドン確率測度の空間 $\hat{P}(X)$ は、ティコノフ空間 $X$ 上の関手 $\hat{P}: \mathcal{Tych} \to \mathcal{Tych}$ をなす。これはコンパクト空間上での古典的 $P$ 関手を拡張する。
• 関手 $\hat{P}$ はティコノフ空間の密度を保存する：任意の無限ティコノフ空間 $X$ に対して $d(\hat{P}(X)) = d(X)$ が成り立つ。
• 関手 $\hat{P}$ はティコノフ空間の重みを保存する：任意の無限ティコノフ空間 $X$ に対して $w(\hat{P}(X)) = w(X)$ が成り立つ。
• 関手 $\hat{P}$ は距離化可能性を保存する：$X$ が距離化可能ならば、$\hat{P}(X)$ に対しても距離化可能である。
• 関手 $\hat{P}$ は $p$-パラコンパクト空間およびチェホフ完全空間のクラスを保存する。
• 任意の $n \geq 0$ に対して、$A \in \mathcal{P}_{2n}(X)$ ならば $\hat{P}(A) \in \mathcal{P}_{2n+1}(P(X))$ が成り立つ。これは $\hat{P}$ が射影階層のレベルを1つ増加させることを示している。