[論文レビュー] The topology of the space of matrices of Barvinok rank two

Axel Hultman, Jakob Jönsson|ArXiv.org|Feb 19, 2009

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 12被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、スケーリングおよび平行移動で割った $ B_{d,n} $ という $ d \times n $ 実行列の空間で、バーヴィノクランク2のものについて、$ (S^{d-2} \times S^{n-2}) / \mathbb{Z}_2 $ にホメオモーティックであることを確立し、多様体であることを証明するとともに、離散モース理論を用いてその整数ホモロジーを計算している。$ d \geq n $ の場合、$ d $ が奇数のとき、ホモロジーは $ S^{d-2} \times \mathbb{RP}^{n-2} $ のそれと同型であり、特定の次数で torsion 項が生じる。

ABSTRACT

The Barvinok rank of a $d imes n$ matrix is the minimum number of points in $\mathbb{R}^d$ such that the tropical convex hull of the points contains all columns of the matrix. The concept originated in work by Barvinok and others on the travelling salesman problem. Our object of study is the space of real $d imes n$ matrices of Barvinok rank two. Let $B_{d,n}$ denote this space modulo rescaling and translation. We show that $B_{d,n}$ is a manifold, thereby settling a conjecture due to Develin. In fact, $B_{d,n}$ is homeomorphic to the quotient of the product of spheres $S^{d-2} imes S^{n-2}$ under the involution which sends each point to its antipode simultaneously in both components. In addition, using discrete Morse theory, we compute the integral homology of $B_{d,n}$. Assuming $d \ge n$, for odd $d$ the homology turns out to be isomorphic to that of $S^{d-2} imes \mathbb{RP}^{n-2}$. This is true also for even $d$ up to degree $d-3$, but the two cases differ from degree $d-2$ and up. The homology computation straightforwardly extends to more general complexes of the form $(S^{d-2} imes X)/\mathbb{Z}_2$, where $X$ is a finite cell complex of dimension at most $d-2$ admitting a free $\mathbb{Z}_2$-action.

研究の動機と目的

• Develinの予想、すなわち $ B_{d,n} $、$ d \times n $ 行列のバーヴィノクランク2の空間でスケーリングおよび平行移動で割ったもの、が多様体であることを解決すること。
• $ B_{d,n} $ の整数ホモロジーを計算し、特に torsion 項と自由部分を特定すること。
• 有限セル複体 $ X $ で $ \mathbb{Z}_2 $-作用が自由で $ \dim X \leq d-2 $ を満たす場合、$ (S^{d-2} \times X)/\mathbb{Z}_2 $ と $ S^{d-2} \times (X/\mathbb{Z}_2) $ のホモロジー同型を確立すること。
• 特に高次元で $ d $ が偶数か奇数かによってホモロジーにどのような違いが生じるかを明確にすること。

提案手法

• 著者らは、$ B_{d,n} $ をバーヴィノクランク2の $ d \times n $ 行列の空間をスケーリングおよび平行移動で割ったものとして定義し、木を用いた単体的分解を構成する。
• $ B_{d,n} $ が $ (S^{d-2} \times S^{n-2}) / \mathbb{Z}_2 $ にホメオモーティックであることを証明し、ここで $ \mathbb{Z}_2 $-作用は両方の球面上の同時反対称写像である。
• 離散モース理論を、複体のチェーン複体に適用し、複体を $ \hat{\mathsf{U}}^{(0)} $ および $ \hat{\mathsf{U}}^{(D)} $ の部分複体に $ \mathbb{Z}_2 $-同変に分解する。
• 重要な構成として、境界写像を分解の両側で関連付ける写像 $ \varphi(w{\bf b}_{0,k}) = \sum_{i=0}^D q^i(w){\bf b}_{i,k-i} $ が用いられる。
• ホモロジーは、$ D $ の偶奇に応じて $ H_*(\left(\mathsf{V} \otimes \mathsf{W}\right)^+) $ を $ H_*(\mathsf{W}^+) $ および $ H_*(\mathsf{W}^-) $ に関連付けることで計算される。
• 最終的なホモロジー計算では、$ \mathsf{W} $ として $ S^{n-2} $ の標準的ヒーミスフェリカルセル分解を用い、定理4.12を適用して torsion 項および自由部分を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 バーヴィノクランク2の行列の空間 $ B_{d,n} $ は位相的多様体か？
• RQ2 $ B_{d,n} $ の整数ホモロジーは何か、特に torsion 項と自由部分は？
• RQ3 $ d $ が奇数か偶数かにかかわらず、$ B_{d,n} $ のホモロジーは $ S^{d-2} \times \mathbb{RP}^{n-2} $ のそれとどのように異なるか？
• RQ4 $ \mathbb{Z}_2 $-複体 $ X $ に対して、$ (S^{d-2} \times X)/\mathbb{Z}_2 $ が $ S^{d-2} \times (X/\mathbb{Z}_2) $ と同じホモロジーを持つ条件は何か？
• RQ5 離散モース理論は $ B_{d,n} $ のホモロジーを計算する上で果たす役割は何か？ また、チェーン複体をどのように簡略化するか？

主な発見

• $ B_{d,n} $ は $ (S^{d-2} \times S^{n-2}) / \mathbb{Z}_2 $ にホメオモーティックであり、Develinの予想が正当化された。
• $ d \geq n $ の場合、$ d $ が奇数のとき、$ B_{d,n} $ の削除された整数ホモロジーは $ S^{d-2} \times \mathbb{RP}^{n-2} $ のそれと同型である。
• $ d $ が偶数のとき、$ B_{d,n} $ のホモロジーは $ d-2 $ 以上の次数で $ S^{d-2} \times \mathbb{RP}^{n-2} $ のそれと異なる。
• 自由部分は、以下の条件を満たす次数 $ i $ で $ \mathbb{Z} $ に同型である：$ i+2 = d = n $ かつ $ i $ が奇数、または $ i+2 = n \neq d $、または $ i+2 = d \neq n $、または $ i = d+n-4 $ かつ $ i $ が偶数。
• torsion 部分は、$ 1 \leq i \leq n-3 $ かつ $ i $ が奇数、または $ d-2 \leq i \leq d+n-5 $ かつ $ i $ が偶数である次数 $ i $ で $ \mathbb{Z}_2 $ に同型である。
• ホモロジー計算は、$ \dim X \leq d-2 $ かつ $ \mathbb{Z}_2 $-作用が自由な任意の有限セル複体 $ X $ に対して $ (S^{d-2} \times X)/\mathbb{Z}_2 $ に一般化可能であり、$ d $ が奇数のとき $ S^{d-2} \times (X/\mathbb{Z}_2) $ と同型である。