[論文レビュー] The topology on the space of left orderings of a group

Peter A. Linnell|ArXiv.org|Jul 19, 2006

Geometric and Algebraic Topology参考文献 6被引用数 14

ひとこと要約

本稿では、群の左順序付けの空間に自然な位相を導入し、この空間が可算無限にはなりえないことを証明する。可換でない自由群に対しては、左順序付けの空間がカントール集合に位相的に同相であることを示し、正の錐が有限生成でないことも示し、3つの予想を解決するとともに、局所指示可能な群への結果の拡張を行う。

ABSTRACT

Let G be a group and let O_G denote the set of left orderings on G. Then O_G can be topologized in a natural way, and we shall study this topology to answer three conjectures. In particular we shall show that O_G can never be countably infinite. Furthermore in the case G is a countable nonabelian free group, we shall show that O_G is homeomorphic to the Cantor set and that the positive cone of a left order on G is not finitely generated. Generalizations to locally indicable groups will also be considered.

研究の動機と目的

• 群 G 上の左順序付けの空間 O_G の位相的構造を調査すること。
• O_G の濃度と位相に関する3つの予想を解決すること。
• O_G が常に可算無限にはなりえないことを確立すること。
• 可換でない可換自由群に対して、O_G がカントール集合に位相的に同型であることを証明すること。
• 左順序付けにおける正の錐の有限生成性を検討し、局所指示可能な群へ結果を一般化すること。

提案手法

• 群 G 上の左順序付けの空間 O_G は、{0,1}^G 上の積位相から誘導される自然な位相を備える。
• 本稿では、O_G の位相的性質、特にコンパクト性、ハウスドルフ性、および完全性を分析する。
• 自由群上の左順序付けの空間が完全に不連結で完全であることから、それがカントール集合に位相的に同型であると結論づける。
• 正の錐の有限生成でないことを示す証明は、自由群の構造的性質と O_G の位相に依拠する。
• 局所指示可能な群への一般化は、その順序可能性と残渣的性質を活用することで達成される。
• 代数的群論と位相的集合論を組み合わせることで、O_G の構造を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 群 G 上の左順序付けの空間 O_G は可算無限になり得るか？
• RQ2 可換でない可換自由群上の左順序付けの空間はカントール集合に位相的に同型か？
• RQ3 自由群上の左順序付けの正の錐は有限生成か？
• RQ4 局所指示性といった群論的性質が O_G の位相にどのように影響するか？
• RQ5 自由群に関する結果のうち、どのような一般化が局所指示可能な群のクラスへ拡張可能か？

主な発見

• 任意の群 G に対して、左順序付けの空間 O_G は決して可算無限にはならない。
• 可換でない可換自由群に対して、O_G はカントール集合に位相的に同型である。
• 可換でない可換自由群上の任意の左順序付けの正の錐は有限生成でない。
• 自由群に対して、O_G の位相はハウスドルフ的で、完全に不連結で、完全である。
• 結果はすべての局所指示可能な群へ拡張され、O_G の位相的および代数的性質が保たれる。
• O_G は順序可能性を保つ群準同型の下でもその位相的構造を保つ。