[論文レビュー] The Torelli locus and special subvarieties

B.J. Moonen, Frans J. Oort|arXiv (Cornell University)|Dec 5, 2011

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 60被引用数 58

ひとこと要約

本稿は、 principally polarized abelian varieties のモジュライ空間内の Torelli locus 内の特別な部分多様体—特に Shimura 多様体—を調査する。Torelli 溶接写像を通じて代数的曲線とそのヤコビ多様体の関係を分析し、主にアーベル被覆からの構成法を用いた、Torelli locus 内の正次元特別部分多様体の既知の構成を検討し、Coleman の有限性予想や André-Oort 予想といった予想を議論する。主な貢献は、現在の知識、未解決問題、および低 genus を超える特別な部分多様体の存在に対する幾何的障害の統合的把握である。

ABSTRACT

We study the Torelli locus T_g in the moduli space A_g of abelian varieties. We consider special subvarieties (Shimura subvarieties) contained in the Torelli locus. We review the construction of some non-trivial examples, and we discuss some conjectures, techniques and recent progress.

研究の動機と目的

• principally polarized abelian varieties のモジュライ空間内の Torelli locus 内に存在する特別な部分多様体（Shimura 多様体）の構造と存在を理解すること。
• Torelli 溶接写像およびその像（Torelli locus）の幾何的・算術的性質を、特に CM 点と標準的リフトと関連して分析すること。
• Coleman の予想および André-Oort 予想が Torelli locus の文脈において有効であるかどうかを検討すること、特に g > 7 の場合に正次元特別部分多様体が Torelli locus 内に存在できるかどうか。
• 通常のアーベル多様体の標準的リフトがヤコビ多様体のまま残るかどうかを決定するための形式的完成と Serre-Tate 理論の役割を調査すること。これは Torelli locus の局所構造を理解する上で中心的である。
• トロイド型コンパクト化の境界における Torelli locus の振る舞いと特別部分多様体の振るまいを、変形理論およびリフト結果の類似性を用いて比較すること。

提案手法

• 曲線のモジュライ空間からアーベル多様体のモジュライ空間への Torelli 溶接写像を用い、その像（Torelli locus と呼ばれる）を研究する。
• 一般線型群の代数的部分群による軌道の像として定義される Shimura 多様体および特別な部分多様体の理論を適用し、Torelli locus 内の部分多様体を同定する。
• André-Oort 予想およびその帰結、特に特別な部分多様体内の CM 点の稠密性を用いて、Torelli locus 内の部分多様体の構造を分析する。
• 正の特徴値における通常のアーベル多様体の標準的リフトを Serre-Tate 理論を用いて分析し、そのリフトがヤコビ多様体のまま残るかどうかに注目する。
• 正の特徴値における通常の点における Torelli locus の形式的完成を研究し、形式的部分トーラスに同型な平坦な形式的部分スキームが存在するかどうかを検出することで、特別な部分多様体の存在を特定する。
• Dwork と Ogus の通常のアーベル多様体の標準的リフトに関する結果と、Fresnel, van der Put, Andreatta の退化曲線に関する結果を比較し、モジュライ空間の境界における変形挙動の類似性を抽出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 g > 3 の場合、Coleman の予想が予測するように、ヤコビ多様体が CM アーベル多様体であるような複素曲線は有限個であるか？
• RQ2 正次元特別部分多様体がモジュライ空間 A_g に完全に含まれる Torelli locus T_g に存在できるか、特に g > 7 の場合に。
• RQ3 正の特徴値における通常の点における Torelli locus の形式的完成が、形式的部分トーラスに同型な平坦な形式的部分スキームを含むか。これは特別な部分多様体の存在を示唆する。
• RQ4 Torelli locus は Teichmüller 距離において完全測地的であるか、それとも正次元の完全測地的部分多様体を含まないか？
• RQ5 正の特徴値におけるヤコビ多様体の変形性—特に標準的リフト—は、Torelli locus 及びそのトロイド型コンパクト化における境界の幾何とどのように関係するか？

主な発見

• Coleman の予想は g ∈ {4,5,6,7} に対して誤りである。P^1 上のアーベル被覆の明示的族が、Torelli locus 内に正次元特別部分多様体を生成する。
• g ≥ 4 における Torelli locus 内の正次元特別部分多様体のすべての既知の例は、固定されたガロア群とモノドロミーを持つ被覆族であり、分岐点のみが変化するものから生じる。
• 円分被覆の場合は、特定の条件下で、既知の例を超えるような追加の族が特別な部分多様体を生成しないことが示されている。
• Dwork と Ogus が示したように、正の特徴値における通常のアーベル多様体の標準的リフトは一般にヤコビ多様体ではない。これは、Torelli locus が通常の点の形式的近傍で線形でないことを示している。
• トロイド型コンパクト化において、Torelli locus の閉包は境界で線形でないが、特別な部分多様体は線形構造を示す。これは根本的な幾何的差異を示唆する。
• Andreatta, Fresnel, van der Put の結果は、一般に退化曲線はヤコビ多様体にリフトしないことを示しており、Torelli locus が特別な部分多様体と同様に変形に対して閉じていないという考えを強化している。