[論文レビュー] The torus equivariant cohomology rings of Springer varieties

Hiraku Abe, Tatsuya Horiguchi|Osaka City University (Osaka City University)|Apr 4, 2014

Advanced Algebra and Geometry参考文献 5被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、対称群 $S_n$ の明示的な作用を構成することにより、型 $A$ のスプリンガー多様体の $T^{\ho}$--equivariant コホロジー環の完全な表現を提示する。タンイサキのイデアルを等置的設定に一般化し、タンイサキの生成元の等置的類似を生成元とするイデアルによる多項式環の商を得る。この表現が、忘れ去り写像を介して非等置的の場合を回復することを証明する。

ABSTRACT

The Springer variety of type $A$ associated to a nilpotent operator on $\mathbb{C}^n$ in Jordan canonical form admits a natural action of the $\ell$-dimensional torus $T^{\ell}$ where $\ell$ is the number of the Jordan blocks. We give a presentation of the $T^{\ell}$-equivariant cohomology ring of the Springer variety through an explicit construction of an action of the $n$-th symmetric group on the $T^{\ell}$-equivariant cohomology group. The $T^{\ell}$-equivariant analogue of so called Tanisaki's ideal will appear in the presentation.

研究の動機と目的

• 型 $A$ のスプリンガー多様体の $T^{\rho}$-等置的コホロジー環 $H^{*}_{T^{\rho}}(\mathcal{S}_{\lambda};\mathbb{Z})$ の完全な代数的表現を提供すること。
• 非等置的から等置的設定へのタンイサキのイデアルの一般化を、$\ell$ 次元トーラス $T^\ell$ の作用を用いて行うこと。
• 局所化技術を用いて、等置的コホロジー群 $H^{*}_{T^\rho}(\mathcal{S}_{\lambda};\mathbb{Z})$ に明示的な $S_n$-作用を構成すること。
• 自由性と $\mathbb{Z}[u_1,\dots,u_\ell]$ 上でのランク一致を示すことにより、得られた表現が等置的コホロジー環と同型であることを証明すること。
• 等置的から非等置的コホロジーへの忘れ去り写像が、$\mathbb{Z}$ 上でタンイサキの元の表現を回復することを示すこと。

提案手法

• スプリンガー多様体 $\mathcal{S}_\lambda$ を保存する $\ell$ 次元トーラス $T^\ell$ を、ブロック対角ユニタリ行列として定義する。これは、ジョルダン標準形のノンポテン型作用素に対応する。
• $\mathcal{S}_\lambda$ の $T^\ell$-固定点を、インデックスにブロック順序条件を満たす置換 $w \in S_n$ に同定する。
• 固定点データと局所化同型を用いて、$H^{*}_{T^\ell}(\mathcal{S}_\lambda;\mathbb{Z})$ に $S_n$-作用を構成する。
• タンイサキの生成元の一般化である、対称多項式 $e_d(\bar{y}_{i_1},\dots,\bar{y}_{i_s} \mid u_{\phi_\lambda(1)},\dots,u_{\phi_\lambda(s+1-d)})$ によって生成される等置的イデアル $\widetilde{I}_\lambda$ を導入する。
• $\bar{\psi}: \mathbb{Z}[y_1,\dots,y_n,u_1,\dots,u_\ell]/\widetilde{I}_\lambda \to H^{*}_{T^\ell}(\mathcal{S}_\lambda;\mathbb{Z})$ が、$\mathbb{Z}[u_1,\dots,u_\ell]$ 上の自由加群としてのランク $\binom{n}{\lambda}$ を持つことを示すことにより、同型であることを証明する。
• 単項式の次数に関する帰納法と、忘れ去り写像 $\theta$ の核を用いて、$y_i$ の単項式が $\mathbb{Z}[u_1,\dots,u_\ell]$-線形結合として $\mathbb{Z}[y_1,\dots,y_n]/I_\lambda$ の代表元によって生成されることを示し、加群の生成を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スプリンガー多様体 $\mathcal{S}_\lambda$ の $T^\ell$-等置的コホロジー環を、多項式環の商として明示的にどのように表現できるか。
• RQ2 等置的コホロジーの文脈において、タンイサキのイデアルの等置的類似は何か。
• RQ3 対称群 $S_n$ は $\mathcal{S}_\lambda$ の等置的コホロジーにどのように作用するか。また、その作用はどのようにして表現を証明するために用いられるか。
• RQ4 等置的表現は、忘れ去り写像によって非等置的コホロジー環を回復するか。もし回復するならば、その方法は何か。
• RQ5 等置的コホロジー環は $\mathbb{Z}[u_1,\dots,u_\ell]$ 上で自由か。そのランクは何か。

主な発見

• 等置的コホロジー環 $H^{*}_{T^\ell}(\mathcal{S}_\lambda;\mathbb{Z})$ は、タンイサキの生成元の一般化である等置的対称多項式によって生成されるイデアル $\widetilde{I}_\lambda$ を用いた商 $\mathbb{Z}[y_1,\dots,y_n,u_1,\dots,u_\ell]/\widetilde{I}_\lambda$ に同型である。
• $\mathbb{Z}[u_1,\dots,u_\ell]$ 上の自由加群としての $H^{*}_{T^\ell}(\mathcal{S}_\lambda;\mathbb{Z})$ のランクは $\binom{n}{\lambda} = \frac{n!}{\lambda_1!\lambda_2!\cdots\lambda_\ell!}$ であり、非等置的コホロジーのランクと一致する。
• 忘れ去り写像 $H^{*}_{T^\ell}(\mathcal{S}_\lambda;\mathbb{Z}) \to H^{*}(\mathcal{S}_\lambda;\mathbb{Z})$ は、$\mathbb{Z}$ 上でタンイサキの元の表現を回復し、古典的ケースとの一貫性を確認する。
• $H^{*}_{T^\ell}(\mathcal{S}_\lambda;\mathbb{Z})$ 上の $S_n$-作用は、$T^\ell$-固定点での局所化を用いて構成され、提示された環とコホロジーの同型を証明するために不可欠である。
• 証明は、$\mathbb{Z}[y_1,\dots,y_n]/I_\lambda$ の代表元の集合が、$\mathbb{Z}[u_1,\dots,u_\ell]$-加群として $\mathbb{Z}[y_1,\dots,y_n,u_1,\dots,u_\ell]/\widetilde{I}_\lambda$ を生成することを示すことに依拠しており、単項式の次数に関する帰納法を用いる。
• $\widetilde{I}_\lambda$ は、$u_i \mapsto 0$ を与える写像による $I_\lambda$ の像を含むことが示され、商において $e_d(\dots) = -\sum (-1)^{d-r} e_r h_{d-r}$ の関係が成り立つことにより、$\theta$ の核が $u_1,\dots,u_\ell$ によって生成されることが保証される。