[論文レビュー] The total irregularity of a graph

Hosam Abdo, Brandt, Stephan+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 22, 2012

Graph theory and applications参考文献 4被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、すべての頂点対間における次数差の絶対値の和の半分として定義されるグラフの総不規則性を導入し、その最大値を達成するグラフを同定する。すべての次数 n の木において、星型グラフが (n−1)(n−2) の最大総不規則性を達成することを証明し、一般のグラフにおける最大総不規則性を特徴づけ、n の偶奇に応じて 1/12(2n³−3n²−2n±3) の上界を与える。

ABSTRACT

In this note a new measure of irregularity of a graph G is introduced. It is named the total irregularity of a graph and is defined as irrt(G) = 1 / 2∑u,v ∈V(G) |dG(u)-dG(v)|, where dG(u) denotes the degree of a vertex u ∈V(G). All graphs with maximal total irregularity are determined. It is also shown that among all trees of the same order the star has the maximal total irregularity.

研究の動機と目的

• すべての頂点対間の次数差に基づいた、グラフの不規則性の新しい測度を定義・形式化すること。
• 与えられた次数 n に対して、最大の総不規則性を達成するグラフの構造を同定すること。
• 一般のグラフおよび木における総不規則性のタイトな上界を確立すること。
• 古典的な不規則性測度とは異なり、総不規則性が次数列によって完全に決定されることを示すこと。

提案手法

• irrt(G) = 1/2 ∑_{u,v∈V(G)} |d_G(u)−d_G(v)| として、すべての無向頂点対に対する対称的な和として総不規則性を定義する。
• 次数列の分析と極値グラフ理論を用いて、この和を最大化するグラフを同定する。
• n が偶数か奇数か、およびユニバーサル頂点の数 q に応じた場合分けを用い、n の偶奇に基づくケース分析を行う。
• ユニバーサル集合と非ユニバーサル集合間、および非ユニバーサル集合内部の頂点寄与を分割することで、最大総不規則性の閉形式表現を導出する。
• 不等式と組合せ的恒等式を用いて、辺の追加または削除による総不規則性の変化を境界づける。
• 背理法を用いて最適性を証明する：提案された構造から逸脱すると、総不規則性が増加または保存され、最大性に矛盾する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 次数 n のグラフに対して、総不規則性測度が取りうる最大値は何か？
• RQ2 すべての次数 n のグラフの中で、最大の総不規則性を達成するのはどのグラフか？
• RQ3 木の総不規則性は他の木と比べてどう異なるか。また、どの木がそれを最大にするか？
• RQ4 総不規則性は次数列によって完全に決定されるのか。古典的不規則性測度とはどのように異なるか？
• RQ5 特にユニバーサルおよび非ユニバーサル頂点の観点から、総不規則性を最大化するグラフの構造は何か？

主な発見

• 次数 n の任意のグラフにおける最大総不規則性は、n が偶数のとき 1/12(2n³−3n²−2n)、n が奇数のとき 1/12(2n³−3n²−2n+3) である。
• 星型グラフは、次数 n のすべての木の中で、唯一、(n−1)(n−2) の最大総不規則性を達成する。
• 最大総不規則性を持つグラフには、n と q に応じた特定の次数パターンを持つ、ちょうど1つまたは2つの非ユニバーサル頂点が含まれる。
• 最大総不規則性を達成する非同型グラフの数は 2^{⌊n/2⌋−1} 個であり、これは総不規則性に影響を与えないオプションの辺に対応する。
• 総不規則性は次数列によって完全に決定されるため、古典的なエッジベースの不規則性測度よりもより頑健な不規則性測度である。
• 総不規則性は古典的不規則性測度の上界であり、本稿では定量的関係 irrt(G) ≤ n²·irr(G)/4 を確立している（連結グラフに対して）。