[論文レビュー] The total zero-divisor graph of commutative rings

Alen Ðurić, Sara Jevđenić+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 15, 2018

Rings, Modules, and Algebras参考文献 7被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、可換単位的環における全零因子グラフを定義し、異なる非零零因子の積と和が両方とも零因子である場合に隣接するという定義に基づく。アートン環において全零因子グラフが連結となる条件を同定し、ℤₘの主要な不変量を計算し、ZT(ℤₘ) ≅ ZT(ℤₙ) が成り立つのは m = n のときに限ることを証明することで、これらの環の完全な同型不変量を確立した。

ABSTRACT

In this paper we initiate the study of the total zero-divisor graphs over commutative rings with unity. These graphs are constructed by both relations that arise from the zero-divisor graph and from the total graph of a ring. We characterize Artinian rings with the connected total zero-divisor graphs and give their diameters. Moreover, we compute major characteristics of the total zero-divisor graphs of the ring ${\mathbb Z}_m$ of integers modulo $m$ and prove that the total zero-divisor graphs of ${\mathbb Z}_m$ and ${\mathbb Z}_n$ are isomorphic if and only if $m=n$.

研究の動機と目的

• 全零因子グラフを定義し、可換環における零因子グラフと全グラフの性質を統合した新しいグラフを研究すること。
• 全零因子グラフが連結であるアートン環を特徴づけ、関連素イデアルおよび極大イデアルに依存する要因を明らかにすること。
• ℤₘの全零因子グラフについて、周長、彩色数、支配数、距離次元といった基本的グラフ不変量を計算すること。
• ZT(ℤₘ) ≅ ZT(ℤₙ) が成り立つのは m = n のときに限ることを証明することで、ℤₘの全零因子グラフの完全な同型不変量を確立すること。
• 全零因子グラフが非巡回となるすべてのケースを特定し、ℤₘにおける頂点の区別不能性を分析すること。

提案手法

• 頂点集合を Z(R)\{0} とする全零因子グラフ ZT(R) を定義し、異なる頂点 u, v が uv = 0 かつ u + v ∈ Z(R) を満たす場合に隣接するものとする。
• アートン環における連結性と直径を解析するため、関連素イデアル、零化イデアル、べき零イデアルといった構造的環論的手法を用いる。
• ℤₘの乗法的数論および因子構造を応用し、周長、彩色数、支配数などの不変量を計算する。
• 隣接条件と結合性の分析を通じて ZT(ℤₘ) の頂点の区別不能クラスを確立し、解消集合の上限を得る。
• m が n 個の素因数を持つ ℤₘ に対して、サイズ m − φ(m) − τ(m) + n + 1 の最小解消集合 B を構成し、補集合論法を用いて距離次元を証明する。
• 同型不変性と因子類の解析を用いて、ZT(ℤₘ) ≅ ZT(ℤₙ) ならば m = n であることを示し、次数列と構造的一意性に依拠する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのアートン環について全零因子グラフが連結であり、その条件が素イデアル構造にどのように依存するか。
• RQ2 与えられた m に対して、ℤₘ の全零因子グラフ ZT(ℤₘ) の正確な周長、彩色数、支配数、距離次元は何か。
• RQ3 ℤₘ の全零因子グラフが非巡回となるのはいつか、その構造はどのようなものか。
• RQ4 ZT(ℤₘ) の距離次元は何か、また m の素因数分解にどのように依存するか。
• RQ5 ZT(ℤₘ) と ZT(ℤₙ) が同型となる条件は何か、そしてこの同型は m = n に限定して特徴づけられるか。

主な発見

• アートン環の全零因子グラフが連結であることは、関連素イデアルが高々一つであることに同値であり、極大イデアルが2つ以上ある場合には直径が2、そうでない場合には直径が1である。
• m = p₁^{m₁}⋯pₙ^{mₙ} と表される ℤₘ について、ZT(ℤₘ) の周長は n ≥ 2 のとき3、n = 1 のとき4である。
• ZT(ℤₘ) の彩色数は m の異なる素因数の個数に等しく、支配数は τ(m) − 1 である。ここで τ(m) は m の正の約数の個数を表す。
• m が少なくとも2つの異なる素因数を持つとき、ZT(ℤₘ) の距離次元は m − φ(m) − τ(m) + n + 1 であり、m が素数のべきのときは m − φ(m) − τ(m) + 1 である。
• 全零因子グラフ ZT(ℤₘ) と ZT(ℤₙ) が同型であるのは m = n のときに限る。これにより、完全な同型不変量が確立された。
• ZT(ℤₘ) における唯一の区別不能な頂点は、同伴の元および各素因数のべきの形 p_i^{m_i} と p_i^{m_i−1} のペアであり、これが最小解消集合のサイズを決定する。