[論文レビュー] The trace formula for transversally elliptic operators on Riemannian foliations

Yuri A. Kordyukov|ArXiv.org|Jan 31, 2000

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 9被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、コンパクトなリーマン的フォリエーション上の横断的楕円型作用素へ、デュスターク＝ギヨームのトレース公式を一般化する。横断的余接バンドル上の双特徴線フローを分析し、ホロノミー不変な記号とマスロフ指数を組み込むことで、$ A $ を正で横断的楕円的かつ自己共役な擬微分作用素とし、その主記号がホロノミー不変であると仮定したときの作用素 $ P = \sqrt{A} $ のトレース公式を導出する。

ABSTRACT

We prove a Duistermaat-Guillemin trace formula for transversally elliptic operators on a compact foliated manifold.

研究の動機と目的

• 古典的なデュスターク＝ギヨームのトレース公式を、コンパクトなフォリエーション多様体上の横断的楕円型作用素へ拡張すること。
• ホロノミー不変な横断的主記号を有する正で横断的楕円的かつ自己共役な擬微分作用素 $ A $ に対し、$ P = \sqrt{A} $ のトレース公式を確立すること。
• フォリエーション空間における幾何的不変量（例えば、ポアンカレ写像やマスロフ指数）をトレース公式に組み込むこと。
• 葉空間 $ M/\mathcal{F} $ をモデルとする特異空間に適した相対的バージョンのデュスターク＝ギヨームの公式を提供すること。
• 非可換幾何学におけるトレース公式の未来の発展の基盤をフォリエーション構造を通じて築くこと。

提案手法

• 擬微分作用素 $ A \in \Psi^2(M, |TM|^{1/2}) $ の横断的主記号 $ \sigma_A $ を、正規化バンドル $ \tilde{N}^*\mathcal{F} $ 上で定義し、横断的楕円性を保証すること。
• 主記号 $ p $ によって生成される $ T^*M \setminus 0 $ 上の双特徴線フロー $ f_t $ を用いて、トレース分布の特異的台を同定すること。
• ホロノミー不変性条件を $ \sigma_A $ に導入し、任意の葉に沿ったパス $ \gamma $ に対して $ \sigma_A(dh_\gamma^*\nu) = \sigma_A(\nu) $ が成り立つようにすることで、幾何的一致性を保つこと。
• 生成関数 $ \chi(t,x,y,\xi,\eta) $ がハミルトン＝ジャコビ方程式 (5.1) を満たすように、oscillatory integral を用いて作用素 $ R(k)W $ のスワーツ核を構成すること。
• シンプレクティックベクトル空間 $ \mathcal{V} $ 内のラグラジアン部分多様体への制限および還元写像を用いて、分布 $ \theta_k $ の半密度主記号を計算すること。
• マスロフ係数 $ \sigma(\gamma,\nu) = \mathrm{sgn}\, R_{(\gamma,\nu)} + 2\kappa_{(\gamma,\nu)} $ を定義し、ここで $ \kappa_{(\gamma,\nu)} $ はラグラジアングラスマン多様体内のループが水平部分空間と交差する回数を表す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 デュスターク＝ギヨームのトレース公式は、リーマン的フォリエーション上の横断的楕円型作用素へどのように一般化できるか？
• RQ2 ホロノミー不変な横断的主記号が、特異な葉空間上でのトレース公式の一貫性を保つ上で果たす役割は何か？
• RQ3 フォリエーション多様体および横断的力学の文脈において、マスロフ指数はどのように定義され、計算されるか？
• RQ4 スワーツ核の微局的構造 $ \theta_k $ は何か、そしてそれは双特徴線フローの幾何とどのように関係しているか？
• RQ5 $ P = \sqrt{A} $ のトレース公式は、ポアンカレ写像や横断的体積形式といった幾何的不変量を用いて表現可能か？

主な発見

• トレース分布 $ \theta(f) = \mathrm{tr}\, U_f $、ここで $ U_f = \int f(t) e^{itP} dt $ は $ \mathbb{R} $ 上の分布であり、その特異性は閉じた横断的双特徴線フローの周期の集合に含まれる。
• クリーンなフロー仮定の下で、$ \theta $ の $ T $ 付近における漸近展開にはポアンカレ写像とマスロフ指数が現れ、主要項は横断的体積形式とホロノミー不変記号によって決定される。
• 漸近展開における主要係数 $ \alpha_{j,0} $ は $ |dt|^{1/2} \otimes d\mu_{\mathcal{Z}_j} $ で与えられ、ここで $ d\mu_{\mathcal{Z}_j} $ は周期的軌道集合 $ \mathcal{Z}_j $ 上の横断的測度である。
• マスロフ係数 $ \sigma(\gamma,\nu) $ は、閉じた横断的双特徴線の集合上で局所定数であり、行列 $ R_{(\gamma,\nu)} $ の符号と、交差数 $ \kappa_{(\gamma,\nu)} $ の2倍の和として計算される。
• 分布 $ \theta_k $ の半密度主記号は、葉方向成分に対して $ \sigma_l(\theta_k) = e^{i\int_0^t \sigma_{\text{sub}}(P)(f_{-s} dh_\gamma^*\nu) ds} R_\mathcal{Z} \pi_G^* k $、横断的成分に対して $ \sigma_t(\theta_k) = |dt|^{1/2} \otimes d\mu_{\mathcal{Z}_j} $ として計算される。
• この公式は、葉空間 $ M/\mathcal{F} $ の特異的幾何に適応したデュスターク＝ギヨームのトレース公式の相対的バージョンを提供し、非可換幾何学への応用を持つ。