[論文レビュー] The tracial Rokhlin property for actions of finite groups on C*-algebras

N. Christopher Phillips|ArXiv.org|Sep 28, 2006

Advanced Operator Algebra Research参考文献 13被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、C*-代数における有限群作用のための、トレース的Rokhlin性質、近似的代表性、および近似的内因性のトレース的類似を導入する。単純で単位的C*-代数がトレース的ランク0を持つ場合、その有限群作用による交叉積が再びトレース的ランク0を持つことを確立し、双対性、トレース的近似的代表性、およびトレース的近似的内因性を結びつける特徴付けを提供する。特に、有限アーベル群および巡回群に対して有効である。

ABSTRACT

We define "tracial" analogs of the Rokhlin property for actions of finite groups, approximate representability of actions of finite abelian groups, and of approximate innerness. We prove four analogs of related "nontracial" results. First, the crossed product of an infinite dimensional simple separable unital C*-algebra with tracial rank zero by an action of a finite group with the tracial Rokhlin property again has tracial rank zero. Second, an outer action of a finite abelian group on an infinite dimensional simple separable unital C*-algebra has the tracial Rokhlin property if and only if its dual is tracially approximately representable, and is tracially approximately representable if and only if its dual has the tracial Rokhlin property. Third, if a strongly tracially approximately inner action of a finite cyclic group on an infinite dimensional simple separable unital C*-algebra has the tracial Rokhlin property, then it is tracially approximately representable. Fourth, an automorphism of an infinite dimensional simple separable unital C*-algebra A with tracial rank zero is tracially approximately inner if and only if it is the identity on K_0 (A) mod infinitesimals.

研究の動機と目的

• トレース的ランク0をもつC*-代数に適した、Rokhlin性質の『トレース的』版を拡張すること。
• 厳密なRokhlin性質の作用の不足を補うために、より弱く柔軟性のあるトレース的バージョンを導入すること。
• 有限アーベル群に対して、トレース的近似的代表性とトレース的Rokhlin性質の間の双対性結果を確立すること。
• K₀ modulo無限小への作用を通じて、トレース的に近似的に内因的な自己同型を特徴付けること。
• トレース的Rokhlin性質をもつ強力なトレース的に近似的に内因的な作用が、トレース的に近似的に代表可能であることを証明すること。

提案手法

• トレースが小さい近似的に中心的な射影を用いて、C*-代数における有限群作用のトレース的Rokhlin性質を定義する。
• トレース的近似枠組みを用いて、等変性およびほぼ不変性を満たす射影とユニタリを構成する。
• 行列代数の構造と行列ユニットの存在を活用して、トレースの挙動を制御可能な有限ランク近似を構築する。
• K理論およびトレース状態の結果を適用して、C*-代数のトレース的構造とK₀への作用を関連付ける。
• 安定的スカラー1および実スカラー0の仮定を用いて、射影のMurray-von Neumann同値およびユニタリ同値を保証する。
• フーリエ変換を用いて作用とその双対の間の双対性を確立し、トレース的Rokhlin性質とトレース的近似的代表性の同値性を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 トレース的ランク0のC*-代数を有限群作用で交叉した場合、その作用がトレース的Rokhlin性質を持つと、再びトレース的ランク0を保つのか？
• RQ2 有限アーベル群の外部作用に対して、トレース的Rokhlin性質は、双対作用がトレース的に近似的に代表可能であることと同値なのか？
• RQ3 有限巡回群の強力なトレース的に近似的に内因的な作用がトレース的Rokhlin性質を持つ場合、必ずトレース的に近似的に代表可能なのか？
• RQ4 単純で単位的C*-代数がトレース的ランク0を持つとき、その自己同型がトレース的に近似的に内因的であるための条件は何か？
• RQ5 強力なトレース的近似的内因的性質の特徴付けにおける有限位数の仮定を弱めることができるか？

主な発見

• 単純で単位的で分離可能なC*-代数がトレース的ランク0を持つ場合、その有限群作用による交叉積も再びトレース的ランク0を持つ。
• 単純で単位的C*-代数に有限アーベル群の外部作用が作用するとき、その作用がトレース的Rokhlin性質を持つことと、その双対がトレース的に近似的に代表可能であることとは同値である。
• 有限巡回群の強力なトレース的に近似的に内因的な作用がトレース的Rokhlin性質を持つ場合、それはトレース的に近似的に代表可能である。
• トレース的ランク0を持つ単純で単位的C*-代数の自己同型は、K₀ modulo無限小において恒等的に作用するときかつそのときに限り、トレース的に近似的に内因的である。
• 有限位数の自己同型に対しては、トレース的近似的内因的性質が与えられたK理論的条件下で、強力なトレース的近似的内因的性質を含む。
• トレース的Rokhlin性質は厳密なRokhlin性質よりも厳密に弱く、非可換トーラスや無理数回転代数といった重要な例において成立する。