[論文レビュー] The tracial Rokhlin property is generic

N. Christopher Phillips|arXiv (Cornell University)|Sep 18, 2012

Advanced Operator Algebra Research参考文献 15被引用数 12

ひとこと要約

本稿では、特定のC*-代数、特に Jiang-Su代数 Z や Cuntz代数 𝒪∞、または無限型のUHF代数とテンソル積をとっても安定な代数における、自動同型のうち、特徴的Rokhlin性質を満たすもの（tracial Rokhlin property）が一般であることを確立している。これは、Aut(A) や ℤ^d の作用の空間において、稠密な Gδ 部分集合を形成する。この結果は、Z や 𝒪∞ にテンソル積をとっても安定な代数、あるいは無限型UHF代数とテンソル積をとっても安定な代数に対し、成立する。また、類似の安定性条件の下で、有限群の作用に対しても拡張可能であり、Baireのカテゴリー論法と、射影の代わりに正の元を用いたRokhlin型構成を用いる。Z に射影が存在しないため、射影ではなく正の元を用いる必要がある。

ABSTRACT

We prove several results of the following general form: automorphisms of (or actions of ${\mathbb{Z}}^d$ on) certain kinds of simple separable unital C*-algebras $A$ which have a suitable version of the Rokhlin property are generic among all automorphisms (or actions), or in a suitable class of automorphisms. That is, the ones with the version of the Rokhlin property contain a dense $G_δ$-subset of the set of all such automorphisms (or actions). Specifically, we prove the following. If $A$ is stable under tensoring with the Jiang-Su algebra $Z,$ and has tracial rank zero, then automorphisms with the tracial Rokhlin property are generic. If $A$ has tracial rank zero, or, more generally, $A$ is tracially approximately divisible together with a technical condition, then automorphisms with the tracial Rokhlin property are generic among the approximately inner automorphisms. If $A$ is stable under tensoring with the Cuntz algebra ${\mathcal{O}}_{\infty}$ or with a UHF algebra of infinite type, then actions of ${\mathbb{Z}}^d$ on $A$ with the Rokhlin property are generic among all actions of ${\mathbb{Z}}^d.$ We further give a related but more restricted result for actions of finite groups.

研究の動機と目的

• 特定のクラスのC*-代数における、特徴的Rokhlin性質を満たす自動同型が一般であることを示すこと。
• 射影のない代数、たとえばJiang-Su代数Zに対して、正の元を用いてRokhlin性質の概念を一般化すること。
• Z^d や有限群の作用が、Rokhlin性質を満たす安定なC*-代数上で、Baireカテゴリー法を用いて一般であることを示すこと。
• 多くの構成されたC*-代数が実数階数ゼロで一意なトレース状態を持つ理由を位相的説明すること。

提案手法

• Aut(A) 上の各点でのノルム収束の位相と、作用の空間における積位相を用いる。これらは完備な距離空間である。
• 正の元または射影を用いた近似Rokhlin条件を満たす自動同型や作用の開集合 W(F,ε) を定義する。
• Baireのカテゴリー定理を適用し、稠密な開集合の共通部分集合が、Rokhlin型自動同型の稠密な Gδ 集合を形成することを示す。
• 行列代数における巡回シフトを用いてRokhlinタワーを構成し、φ: D^⊗d ⊗ A → A が恒等写像に近似的にユニタリ同値であることを用いる。
• 安定性条件（例：Z⊗A ≅ A、𝒪∞⊗A ≅ A、D⊗A ≅ A）を活用し、代数的構造から自動同型群へのRokhlin型性質の持ち上げを行う。
• 有限群の左正則表現と行列単位を用いて、行列代数への群作用を定義し、C*-代数上への持ち上げを行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Z-安定でトレースランクがゼロのC*-代数 A において、特徴的Rokhlin性質を満たす自動同型は、Aut(A) 全体の空間で一般であるか？
• RQ2 射影のないC*-代数、たとえばJiang-Su代数に対して、正の元を用いてRokhlin性質を一般化できるか？
• RQ3 𝒪∞ またはUHF-安定なC*-代数上での ℤ^d の作用において、Rokhlin性質を満たす作用の集合は、すべての作用の空間において稠密かつ Gδ か？
• RQ4 D^∞-安定なC*-代数上での有限群作用において、Rokhlin性質を満たす作用の集合は、すべての作用の空間において稠密な Gδ 部分集合か？
• RQ5 自動同型および作用の完備距離空間において、Baireカテゴリー論法を用いてRokhlin性質の一般性を確立できるか？

主な発見

• 任意の単純で分離可能かつ単位元をもつC*-代数 A で、トレースランクがゼロで Z⊗A ≅ A が成り立つとき、A の自動同型のうち特徴的Rokhlin性質を満たすものの集合は、Aut(A) の稠密な Gδ 部分集合である。
• A がトレース的に近似的に可除的で、技術的条件（例：トレースランクがゼロ）を満たすならば、特徴的Rokhlin性質を満たす近似的内自動同型の集合は、Inn(A) の閉包における稠密な Gδ 部分集合である。
• 任意の分離可能な単位元をもつC*-代数 A で、𝒪∞⊗A ≅ A または無限型UHF代数 D に対して D⊗A ≅ A が成り立つとき、A の自動同型のうちRokhlin性質を満たすものの集合は、Aut(A) の稠密な Gδ 部分集合である。
• この結果は ℤ^d の作用に対しても拡張可能である。このような A に対して、Rokhlin性質を満たす作用の集合は、A 上の ℤ^d 全体の作用の空間における稠密な Gδ 部分集合である。
• D^∞-安定なC*-代数上での有限群作用において、Rokhlin性質を満たす作用の集合は、すべての作用の空間における稠密な Gδ 部分集合である。
• 証明は、行列代数におけるRokhlinタワーの構成と、テンソル積の同型写像の近似的ユニタリ同値性を用いて、Rokhlin性質をC*-代数のレベルに持ち上げることに依存している。