[論文レビュー] The Transfer Matrix Method and The Theory of Finite Periodic Systems. From Heterostructures to Superlattices

Pedro Pereyra|arXiv (Cornell University)|Sep 23, 2021

Quantum and electron transport phenomena参考文献 245被引用数 22

ひとこと要約

本論文は、スーパーラティスやヘテロ構造を含む有限周期系に対して、系の有限性、任意のポテンシャルプロファイル、複数の伝搬モードを完全に考慮した厳密な転送行列形式を提示する。この形式により、任意のユニットセル数に対して固有値、固有関数、共鳴状態、離散的分散関係の解析的解が導出され、光および電子系の実験において高い精度の予測が可能であることを示している。

ABSTRACT

Long-period systems and superlattices, with additional periodicity, have new effects on the energy spectrum and wave functions. Most approaches adjust theories for infinite systems, which is acceptable for large but not small number of unit cells $n$. In the past 30 years, a theory based entirely on transfer matrices was developed, where the finiteness of $n$ is an essential condition. The theory of finite periodic systems (TFPS) is also valid for any number of propagating modes, and arbitrary potential profiles (or refractive indices). We review this theory, the transfer matrix definition, symmetry properties, group representations, and relations with the scattering amplitudes. We summarize the derivation of multichannel matrix polynomials (which reduce to Chebyshev polynomials in the one-propagating mode limit), the analytical formulas for resonant states, energy eigenvalues, eigenfunctions, parity symmetries, and discrete dispersion relations, for superlattices with different confinement characteristics. After showing the inconsistencies and limitations of hybrid approaches that combine the transfer-matrix method with Floquet's theorem, we review some applications of the TFPS to multichannel negative resistance, ballistic transistors, channel coupling, spintronics, superluminal, and optical antimatter effects. We review two high-resolution experiments using superlattices: tunneling time in photonic band-gap and optical response of blue-emitting diodes, and show extremely accurate theoretical predictions.

研究の動機と目的

• 無限系の定理に依存する近似を避ける、有限周期系の完全な理論的枠組みの構築を目的とする。
• 有限系において転送行列とブローチ・フロケの定理を組み合わせたハイブリッド手法に生じる矛盾を解消することを目的とする。
• マルチチャンネルスーパーラティスにおけるエネルギー固有値、固有関数、透過係数の解析的解を提供することを目的とする。
• 任意のユニットセル数、任意のポテンシャルまたは屈折率プロファイル、複数の伝搬モードに対して有効な形式を確立することを目的とする。
• 光および電子系のスーパーラティスにおいて、高分解能実験データと一致する高精度の理論的予測を示すこと。

提案手法

• ブローチまたはフロケの定理に依存しない、完全に転送行列に基づく形式主義。
• 単一モード極限においてチェビシェフ多項式に一般化されるマルチチャンネル行列多項式の導出。
• 群表現論を用いて転送行列をコンactおよび非コンパクト部分群に分類。
• 離散的分散関係、パリティ対称性、共鳴状態の条件の解析的導出。
• 正確な行列関係を介して転送行列を散乱振幅および透過/反射係数に関連付ける。
• この形式主義を応用し、変動する閉じ込めポテンシャルを有するスーパーラティスのエネルギー固有値および固有関数を導出。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 無限周期性を仮定せずに、有限スーパーラティスのエネルギー準位および波動関数をどのように正確に記述できるか？
• RQ2 マルチチャンネルの有限周期系において、共鳴状態および離散的分散関係の解析的条件は何か？
• RQ3 転送行列とフロケの定理を組み合わせたハイブリッド手法が、有限系ではなぜ失敗するのか？
• RQ4 転送行列の対称性および群構造は、有限スーパーラティスにおける物理的解にどのように影響を与えるか？
• RQ5 この形式主義は、光および電子系のスーパーラティスにおいて、どれほど高い精度で実験結果を予測できるか？

主な発見

• 理論は、任意のポテンシャルプロファイルおよび任意の伝搬モード数を有する有限スーパーラティスにおけるエネルギー固有値および固有関数の正確な解析的表現を提供する。
• この手法は、連続的準位に陥らない離散的準位および表面状態エネルギーを正しく予測する。
• 高分解能実験（光バンドギャップ構造におけるトンネル時間の測定およびブルー発光GaNスーパーラティスの光学的応答）と照合された、高精度の理論的予測が得られた。
• 形式主義により、クライマースの固有値議論およびフロケの定理と整合する転送行列はコンパクト部分群に属することが判明し、これは単位透過およびゼロ反射を意味するが、これは有限系において物理的に不一致である。
• この理論により、有限系を無限系として扱う際の長年の矛盾が解消され、ブローチ関数が有限周期系の固有関数でないことが示された。
• 導出された行列多項式は、単一モード極限においてチェビシェフ多項式に還元され、より単純な場合の既知の結果と整合することが確認された。