[論文レビュー] The Transform of a line of Desargues Affine Plane in an additive Group of its Points

Orgest Zaka, Kristaq Filipi|arXiv (Cornell University)|Aug 20, 2016

Mathematics and Applications被引用数 15

ひとこと要約

この論文は、小さなパップスの定理を用いて、デルガルスアフィン平面内の直線上の点に加法的演算を定義することで、その点に群構造を確立する。この演算の下で、このような平面内の任意の直線上の点はアーベル群をなすことが証明され、射影幾何における加法的群構造の幾何的実現が得られる。

ABSTRACT

In this paper we present a set transformation of points in a line of the Desargues affine plane in a additive group. For this, the first stop on the meaning of the Desargues affine plane, formulating first axiom of his that show proposition D1. Afterwards we show that little Pappus theorem, which we use in the construction of group proofs in additions of points on a line on desargues plane, also applies in the Desargues affine plane.

研究の動機と目的

• デルガルスアフィン平面における直線上の点に、幾何的構成によって加法群を確立すること。
• 小さなパップスの定理がデルガルスアフィン平面で成立することを示し、群演算の定義を可能にすること。
• 直線上の点における群演算が結合的で、可換であり、単位元と逆元を持つことを示すこと。
• 合成幾何学的手法を用いて、射影幾何における加法的構造の基礎を提供すること。
• デルガルス平面が直線上に自然なアーベル群演算を備えていることを示すことで、射影幾何と群論を橋渡しすること。

提案手法

• デルガルスアフィン平面の第一公理を用いて、幾何的枠組みを定義する。
• 小さなパップスの定理を、直線上の点における群演算の定義と検証の主要な道具として適用する。
• 平行線と交点を含む幾何的作図を用いて、直線上の二点の加法を定義する。
• 接続性と同一直線上の性質を用いて、群公理（結合的、可換、単位元、逆元）を検証する。
• 座標に基づく代数ではなく、合成幾何の技法に依存して群構造を導出する。
• 得られた演算が閉じており、可換であり、定義された規則の下でアーベル群をなすことを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 デルガルスアフィン平面における直線上の点に、自然な加法群構造を定義できるか？
• RQ2 小さなパップスの定理はデルガルスアフィン平面で成立するのか。また、一貫した群演算を定義するために利用可能か？
• RQ3 デルガルス平面における直線上の点の群演算は結合的で可換か？
• RQ4 定義された加法の下で、単位元と逆元が存在することを保証する幾何的性質は何か？
• RQ5 直線上の群構造は、デルガルスアフィン平面の基本的な接続公理とどのように関係しているか？

主な発見

• デルガルスアフィン平面における任意の直線上の点は、幾何的に定義された加法演算の下でアーベル群をなす。
• 小さなパップスの定理はデルガルスアフィン平面で成立し、群演算の結合的性質を証明するために不可欠である。
• 群演算は可換であり、単位元は幾何的対称性と交点の性質から導かれる。
• 直線上の各点には、その和が単位元に一致する一意な逆元点が存在する。
• 構成は完全に合成的であり、座標系を一切用いず、接続性と平行線の公理に依存する。
• 得られる群は標準的なアーベル群と同型であり、幾何的構造の整合性と代数的豊かさが確認される。