[論文レビュー] The transformation laws of algebraic theta functions

Luca Candelori|arXiv (Cornell University)|Sep 15, 2016

Polynomial and algebraic computation参考文献 3被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、theta-descent構造、メタプレクティックスタック、半形式のバンドルを導入することで、theta関数の変換法則の代数的幾何的枠組みを確立し、アーベルスキームのモジュライスタック上でのWeilバンドルと双対theta定数バンドルの間に自然な同型を構成する。主な結果は定理4.2.1であり、古典的な変換法則の代数的アナロジーを提供し、Weil表現を通じて半整数重のモジュラー形式とベクトル値モジュラー形式を統一する。

ABSTRACT

We give a comprehensive treatment of the transformation laws of theta functions from an algebro-geometric perspective, that is, in terms of moduli of abelian schemes. This is accomplished by introducing geometric notions of theta-descent structures, metaplectic stacks, and bundles of half-forms, whose analytic incarnations underlie different aspects of the classical transformation laws. As an application, we lay the foundations for a geometric theory of modular forms of half-integral weight and, more generally, for modular forms taking values in the Weil representation. We discuss further applications to the algebraic theory of Jacobi forms and to the theory of determinant bundles of abelian schemes.

研究の動機と目的

• 従来、解析的手法とメタプレクティック群という『不思議な神』に依存してきたtheta関数の古典的変換法則を、純粋に代数的幾何的枠組みで説明すること。
• 明示的なtheta関数やその零点集合に依存しない、代数的スタックとtheta降下構造を用いた半整数重モジュラー形式の理論を構築すること。
• Weilバンドルと双対theta定数バンドルの間に自然な同型を構成することで、theta関数の解析的変換法則と代数的幾何学を統合すること。
• Eichler-Zagier同型を高 genusおよび任意の型へ一般化し、Jacobi形式とアーベルスキームの行列式バンドルのための代数的基盤を提供すること。

提案手法

• アーベルスキームに作用する弱いレベル構造としての「theta降下構造」を導入し、同型写像下での線束の降下を制御する。完全なtheta構造とは異なる。
• シンプレクティック群のメタプレクティック被覆の幾何的アナロジーとしてのメタプレクティックスタックを構成し、半整数重モジュラー形式を記述する上で不可欠である。
• 半形式のバンドルを定義し、theta乗数バンドルを用いてWeilバンドルを構成し、その切断にWeil表現が自然に現れるようにする。
• アーベルスキームの極性が偶数型δであるモジュライスタックA_g,δ上でのWeilバンドルW_g,δと双対theta定数バンドルJ∨_g,δの間に、自然な代数的同型ι_algを確立する。
• ι_algの解析的化（analytification）が、リーマン-ヤコビtheta関数の関数等式を介して、古典的なtheta関数の変換法則と一致することを証明する。
• 主な同型を応用し、ベクトル値モジュラー形式の代数的アナロジーを導出し、Eichler-Zagier同型を高 genusおよび任意のインデックスへ一般化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 解析的接続や複素解析に依存せずに、theta関数の変換法則を完全に代数的幾何的枠組みでどのように理解できるか。
• RQ2 メタプレクティック群がtheta関数の変換理論において果たす幾何的役割は何か。スタックと線束を用いてどのように形式化できるか。
• RQ3 半整数重モジュラー形式は、theta関数やその零点集合に言及せずに、モジュライ問題から内在的に構成可能か。
• RQ4 Weil表現は代数的幾何学からどのように自然に現れ、モジュライスタック上のベクトルバンドルとしてどのように幾何的に実現されるか。
• RQ5 Jacobi形式と半整数重モジュラー形式の間のEichler-Zagier同型の代数的一般化は何か。

主な発見

• 定理4.2.1により、極性が偶数型δであるアーベルスキームのモジュライスタックA_g,δ上でのWeilバンドルW_g,δと双対theta定数バンドルJ∨_g,δの間に自然な代数的同型ι_algが確立される。
• ι_algの解析的化（ℂにテンソル積をとったもの）が、古典的なtheta関数の変換法則と一致することを示し、ι_algがこれらの法則の正確な代数的アナロジーであることを証明する。
• 同型ι_algにより、半整数重モジュラー形式の新たな純粋モジュラーな構成法が得られ、Shimura理論やRamseyのp進アナロジーを高 genusおよび任意の型へ一般化する。
• この同型は、インデックスm/2、重さkのJacobi形式と重さk−1/2のW∨_g,δ値モジュラー形式の間の自然な対応を一般化する。
• 同型の両辺の行列式をとることで、det(W∨_g,δ) ≃ det(J_g,δ) ⊗ ω^−d/2が得られ、右辺の平方が行列式バンドルΔ_g,δと同一視され、Pic(A_g,δ)におけるその位数を求める新しい代数的アプローチが得られる。
• 行列式バンドルΔ_g,δの位数が(det W∨_g,δ)^⊗2の位数と一致することが示され、[8]におけるΔ_g,δの解析的計算の代数的類似物が得られ、幾何的および解析的アプローチが統合される。