[論文レビュー] The traveling salesman problem: A Linear programming formulation

Moustapha Diaby|arXiv (Cornell University)|Sep 2, 2006

Vehicle Routing Optimization Methods参考文献 9被引用数 28

ひとこと要約

本稿では、ネットワークフローに基づくアプローチを用いて、巡回セールスマン問題（TSP）の多項式サイズの線形計画法による定式化を提示する。主な貢献は、TSPを正確に多項式サイズでモデル化できる画期的な定式化を提唱したことである。これは、従来の見解である「TSPは多項式時間内に線形計画法で解けない」という考えに挑戦するものである。

ABSTRACT

In this paper, we present a polynomial-sized linear programming formulation of the Traveling Salesman Problem (TSP). The proposed linear program is a network flow-based model. Numerical implementation issues and results are discussed. (The exposition and proofs are much more detailed in an edition which I wrote in collaboration with Dr. M.H. Karwan in 2012-2014 . That edition is available at http://users.business.uconn.edu/mdiaby/P=NPProofPapers/tspPaper.pdf)

研究の動機と目的

• 巡回セールスマン問題を正確に表現する多項式サイズの線形計画法モデルを開発すること。
• TSPが多項式サイズの線形計画法として定式化できないという長年の信念に挑戦すること。
• ネットワークフローの原則を用いて理論的に妥当かつ計算的に実行可能な定式化を提供すること。
• 以前の反例が定式化を無効にするという主張を検証し、反証すること。
• 線形計画法によるTSPの多項式時間解法の基盤を確立すること。

提案手法

• 都市と辺を有向グラフとして表現し、TSPをネットワークフロー問題として定式化する。
• 辺選択のための2値変数と、巡回の接続性および部分巡回の排除をモデル化するためのフロー変数を導入する。
• フロー保存則を満たし、各都市にちょうど1度訪問されることを保証する制約を適用する。
• 部分巡回の防止および巡回の接続性を保証するため、制約 (2.11) から (2.15) を課す。
• 都市の数に対して多項式サイズとなるように、コンactな制約集合を用いてTSPをモデル化する。
• 解空間の整数性と正しさを保証するための再定式化技術を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 指数的制約を必要とせずに、TSPを多項式サイズの線形計画法として定式化できるか？
• RQ2 提案された制約は、部分巡回を効果的に排除しつつも、多項式サイズを維持できるか？
• RQ3 ホフマンが主張する反例は、定式化における全制約集合の下で有効であるか？
• RQ4 ネットワークフローに基づく線形計画法は、多項式複雑性でTSPを正確にモデル化できるか？
• RQ5 この定式化は、線形計画法によるTSPの多項式時間解法を示唆するか？

主な発見

• 提案された線形計画法は都市の数に対して多項式サイズであり、特にn都市に対してO(n²)の変数および制約を有する。
• 定式化には巡回の接続性と部分巡回の排除を強制する完全な制約集合が含まれる。
• 論文はホフマンの反例を反証し、制約 (2.11) から (2.15) を違反していることから、その主張を無効にしていることを示している。
• 理論的展開は改訂履歴を通じても一貫しており、v7ではコア定式化の有効性が確認されている。
• モデルは線形計画法フレームワーク内でのTSPの完全かつ正確な表現として提示されている。
• この定式化は、線形計画法が効率的に解ける場合、TSPの多項式時間解法を提供すると主張されている。