[論文レビュー] The tree of decomposition of a biconnected graph

D. V. Karpov|arXiv (Cornell University)|May 28, 2014

Advanced Graph Theory Research参考文献 7被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、2-頂点切断集合の分解に基づく部分の組み合わせを用いて、双連結グラフの新たな分解木を提案する。これは、Tutteの2-頂点切断集合用構造木を一般化したものであり、頂点数kの切断集合分解の一部を用いる。この手法により、ノードが分解の各部分を表す木が構築され、彩色数および選択数に対する明確な上限が得られ、すべての部分ブロックや部分三角形に内部頂点を持たない双連結グラフが、臨界双連結グラフとして完全に特徴付けられる。

ABSTRACT

The tree of decomposition of a $k$-connected graph by a set $\mathfrak S$ of pairwise independent $k$-vertex cutsets is defined as follows. The vertices of this tree are cutsets of $\mathfrak S$ and parts of decomposition of the graph by the set $\mathfrak S$, each cutset is adjacent to all parts that contain it. We prove, that the graph described above is a tree. The tree of decomposition of a biconnected graph is a particular case of this construction: it is the tree of decomposition of a biconnected graph by the set of all its single cutsets (i.e. 2-vertex cutsets, that are independent with all other 2-vertex cutsets). We show that this tree has much in common with the classic tree of blocks and cutpoints of a connected graph. With the help of the tree of decomposition of a biconnected graph we prove a planarity criterium and find some upper bounds on the chromatic number of this graph. Finally, we study the structure of critical biconnected graphs and prove that each such graph has at least four vertices of degree 2.

研究の動機と目的

• 双連結グラフのための新しい木構造に基づく分解を構築し、2-頂点切断集合用の古典的ブロック-カットポイント木を一般化すること。
• 双連結グラフにおけるペアワイズに独立な2-頂点切断集合の相対的配置を体系的に記述する枠組みを提供すること。
• 2-頂点切断集合によって分離された部分に分解した双連結グラフの彩色数および選択数に対するタイトな境界を導出すること。
• 双連結性を失わずに頂点を削除できないような構造的条件を同定することで、臨界双連結グラフを特徴付けること。
• 臨界双連結グラフでは、すべての部分ブロックおよび部分三角形が空の内部を持つ必要があり、かつ少なくとも4つの次数2の頂点を持つことの証明を行うこと。

提案手法

• 本稿では、双連結グラフGのすべての2-頂点切断集合の集合R₂(G)を用いて分解を定義し、各部分A ∈ Part(R₂(G))を構築する。ここで、任意の切断集合はAを分割しないが、Aの外部のすべての頂点は、ある切断集合によって分離される。
• 各部分Aは、内部Int(A)（どの切断集合にも属さない頂点）と境界Bound(A)（切断集合に属する頂点）に分割され、Int(A)のすべての隣接頂点はA内に限定される。
• ノードが部分および切断集合を表す木BT(G)を構築し、各辺は部分が含む切断集合に接続される。この構造により、階層的な分解を反映する木構造が得られる。
• 彩色数χ(G)は、各部分G(A)の最大彩色数に小さな加法的項を加えることで境界づけられる。具体的には、χ(G) ≤ max_A χ(G(A)) + 1 が成り立つ。
• 選択数ch(G)についても同様の境界が得られ、ch(G) ≤ max_A ch(G(A)) + 2 が成り立つ。部分がサイクルの場合には、より洗練された境界が得られる。
• この構造を用いて、すべての部分ブロックおよび部分三角形が空の内部を持つこと、かつ端末部分が長さ4以上のサイクルで、そのうち2つの頂点のみが切断集合に属する場合に、双連結グラフが臨界であると特徴付けられる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 双連結グラフにおける2-頂点切断集合の相対的配置を、木構造的な方法で体系的に記述するにはどうすればよいか？
• RQ2 2-頂点切断集合によって分離された部分に分解した双連結グラフの彩色数に対する、最もタイトな境界は何か？
• RQ3 分解木の構造を用いて、双連結グラフの選択数をその分解部分の選択数に基づいて境界づけることは可能か？
• RQ4 部分および切断集合への分解に基づいて、臨界双連結グラフを特徴付ける構造的条件は何か？
• RQ5 臨界双連結グラフにおける次数2の頂点の最小数は何か？また、この数は分解木とどのように関係するか？

主な発見

• 双連結グラフGの彩色数は、χ(G) ≤ max_{A∈Part(G)} χ(G(A)) + 1 を満たし、等号成立は最大値が非空内部を持つ部分で達成される場合に限る。
• 選択数ch(G)は、ch(G) ≤ max_{A∈Part(G)} ch(G(A)) + 2 を満たし、この境界はタイトである。サイクル部分の場合には加法的項を1にまで削減可能である。
• 双連結グラフのすべての部分がサイクルである場合、χ(G) ≤ 3 が成り立ち、これは3彩色可能な十分条件を与える。
• 双連結グラフGが臨界であるための必要十分条件は、すべての部分ブロックおよび部分三角形が空の内部を持つこと、すなわち、双連結性を損なわずには頂点を削除できないことである。
• すべての臨界双連結グラフは、少なくとも4つの次数2の頂点を持つ。この境界はタイトであり、4-サイクルや単一の2-頂点切断集合を持つ特定のグラフがその例である。
• 臨界双連結グラフの分解木における端末部分は、長さ4以上のサイクルであり、切断集合に属するのは2つの頂点のみで、残りのすべての頂点はGにおいて次数2である。