[論文レビュー] The Tree Width of Separation Logic with Recursive Definitions

Radu Iosif, Adam Rogalewicz+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 22, 2013

Advanced Database Systems and Queries参考文献 5被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、木の親ポインタや連結した葉を持つ木のような複雑な可変データ構造を表現できる、再帰的定義を含む分離論理の決定可能フラグメントである SLRD_btw を導入する。著者たちは、木幅が有界なグラフ上のモノディック第二階論理（MSO）への公理の翻訳により、木オートマトンの空性問題への還元を通じて、充足可能性とエンタイルメントの決定可能性を確立する。これは、制限されたデータ構造にとどまらない一般解である。

ABSTRACT

Separation Logic is a widely used formalism for describing dynamically allocated linked data structures, such as lists, trees, etc. The decidability status of various fragments of the logic constitutes a long standing open problem. Current results report on techniques to decide satisfiability and validity of entailments for Separation Logic(s) over lists (possibly with data). In this paper we establish a more general decidability result. We prove that any Separation Logic formula using rather general recursively defined predicates is decidable for satisfiability, and moreover, entailments between such formulae are decidable for validity. These predicates are general enough to define (doubly-) linked lists, trees, and structures more general than trees, such as trees whose leaves are chained in a list. The decidability proofs are by reduction to decidability of Monadic Second Order Logic on graphs with bounded tree width.

研究の動機と目的

• 表現力の高い分離論理のフラグメントにおける再帰的定義の決定可能性という、長年の未解決問題に取り組むこと。
• 単一リンクリストや木にとどまらない、二重リンクリストや親ポインタ付きの木のようなより複雑なデータ構造への決定可能性の拡張。
• 無限大かつ動的に割り当てられたデータ構造を捉える一般論理フラグメントを定義し、決定可能性を維持すること。
• 木幅が有界な性質を利用する、ヒープを操作するプログラムの自動検証のための統一フレームワークを提供すること。
• SLRD から、木幅が有界なグラフ上の決定可能 MSO 論理への還元に基づくアプローチを確立すること。

提案手法

• 再帰的述語定義の制限により、すべてのモデルが木幅が有界であることを保証するフラグメント SLRD_btw を定義する。
• SLRD_btw の論理式を、グラフ構造上の等価なモノディック第二階論理（MSO）論理式に翻訳する。
• ヒープを、メモリセルをノードとし、ポインタおよびデータ関係をエッジとする有向グラフとしてモデル化する。
• 再帰的述語定義を木オートマトンと MSO 制約を用いてエンコードし、パラメータの割り当てと構造的インヴァリアントを捉える。
• モデルの木幅が有界であることに基づき、充足可能性およびエンタイルメント問題を木オートマトンの空性問題に還元する。
• SLRD_btw と MSO モデル間の双方向性に類似した対応関係を用いて翻訳の正しさを証明し、意味的同値性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 再帰的定義を含む分離論理の一般フラグメントを定義可能であり、無限大のデータ構造に対し充足可能性とエンタイルメントが決定可能であるか。
• RQ2 モデルの木幅が有界であるという性質が、リストや木を越えて表現力の高い再帰的述語に対しても決定可能性を可能にするか。
• RQ3 SLRD_btw から MSO 論理への翻訳が意味的同値性を保ちつつ、決定可能性を保証できるか。
• RQ4 SLRD_btw における充足可能性およびエンタイルメント問題を、木オートマトンの空性問題に還元できるか。
• RQ5 SLRD_btw が tll（連結した葉を持つ木）や二重リンクリストのような複雑なデータ構造をどれほど表現できるか。

主な発見

• SLRD_btw は、充足可能性とエンタイルメントの両方について決定可能であることが示され、従来の制限されたフラグメントを超えて決定可能性が拡張された。
• この論理は、親ポインタ付きの木や連結した葉を持つ木といった、標準的な決定可能フラグメントでは表現できない複雑なデータ構造を表現可能である。
• SLRD_btw から木幅が有界なグラフ上の MSO 論理への翻訳は正しく、意味的同値性を保証する。
• 決定可能性の結果は、モデルの木幅が有界であることを利用し、木オートマトンの空性問題への還元によって達成された。
• このアプローチにより、自動推論を用いた複雑なヒープ割り当てデータ構造を操作するプログラムの検証のための統一フレームワークが提供される。
• 意思決定問題の複雑さは、整数階の複雑さであると予想され、今後の研究でタイトな上界が確立される予定である。