[論文レビュー] The Triplet Vertex Operator Algebra W(p) and the Restricted Quantum Group at Root of Unity

Kiyokazu Nagatomo, Akihiro Tsuchiya|ArXiv.org|Feb 26, 2009

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 20被引用数 66

ひとこと要約

本稿は、三重項頂点 operator 代数 $W(p)$ の加法的圏と、$q = e^{/pi i/p}$ における制限量子群 $\bar{U}_q(sl_2)$ の有限次元表現の圏の間のカテゴリカル同値性を確立し、Feigin らの長年の予想を証明する。著者らは、単純 $W(p)$-加群 $\mathcal{X}_s^\pm$ の射影被覆 $\mathcal{P}_s^\pm$ を構成し、スクリーニング作用素を用いてその構造を分析し、$W(p)$-mod が $\bar{U}_q(sl_2)$-mod とアーベル圏として同値であることを示す。ブロックは $s = 0, \dots, p$ で添え字付けられ、$1 \leq s \leq p-1$ では非半単純構造を示す。これは対数的 conformal field theory における Kazhdan-Lusztig 型の対応を提供する。

ABSTRACT

We prove the abelian category of the modules over triplet VOA W(p) is category equivalent to the abelian category of the modules over quantum algebra of type sl_2 at root of unity.

研究の動機と目的

• Feigin らの予想、すなわちアーベル圏 $W(p)$-mod が $q = e^{\pi i/p}$ における制限量子群 $\bar{U}_q(sl_2)$ の有限次元表現の圏と同値であるという予想を解決すること。
• $1 \leq s \leq p$ の範囲で、単純 $W(p)$-加群 $\mathcal{X}_s^\pm$ の射影被覆 $\mathcal{P}_s^\pm$ を構成し、その構造を分析すること。
• $W(p)$-mod のブロック分解を用いて構造を特定し、$1 \leq s \leq p-1$ で非半単純であり、$s = 0, p$ で半単純であることを示すこと。
• 単純対象間の Ext$^1$ 群を計算し、各ブロックにおける射影被覆の自己準同型代数 $B_s$ を確立すること。

提案手法

• Fjelsted らの方法を一般化し、スクリーニング作用素 $Q_-^{[d_s^\varepsilon]}(z)$ の繰り返し積分を用いて $W(p)$-加群 $\mathcal{P}_s^\pm$ を構成する。
• 作用素 $Q_+(z)$ と $Q_-^{[d_s^\varepsilon]}(z)$ からの相互作用作用素を用いて、フォック空間表現および加群構造を分析する。
• Ext$^1$ 群の消滅と $T(0)$ の非対角化を示すことにより、$\mathcal{P}_s^\pm$ が $\mathcal{X}_s^\pm$ の射影被覆であることを証明する。
• $\mathcal{P}_s^\pm$ の構造を用いて Zhu の代数 $A_0(W(p))$ を決定し、$W(p)$-mod のブロック分解を導く。
• 自己準同型代数 $B_s = \mathrm{End}_{C_s}(\mathcal{P}_s^+ \oplus \mathcal{P}_s^-)$ が、$\bar{U}_q(sl_2)$-mod における射影被覆の自己準同型代数 $B(\bar{U})$ と同型であることを示す。
• 等価定理（命題 6-3）を適用し、$W(p)$-mod と $\bar{U}_q(sl_2)$-mod がアーベル圏として同値であると結論づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アーベル圏 $W(p)$-mod と、$q = e^{\pi i/p}$ における制限量子群 $\bar{U}_q(sl_2)$ の有限次元表現の圏との間にはカテゴリカル同値性が存在するか？
• RQ2 単純 $W(p)$-加群 $\mathcal{X}_s^\pm$ の射影被覆 $\mathcal{P}_s^\pm$ の構造はいかなるものか？
• RQ3 $W(p)$-mod のブロック分解は、$\bar{U}_q(sl_2)$-mod とどのように比較できるか。特に、半単純性と Ext$^1$ 群の観点から。
• RQ4 $W(p)$-mod の各ブロックにおける射影被覆の自己準同型代数 $B_s$ は、量子群表現理論における既知の代数 $B(\bar{U})$ と特定できるか？
• RQ5 非可約 $W(p)$-加群における $T(0)$ の作用のジョルダンブロックの最大長さは何か？

主な発見

• $W(p)$-mod はブロック分解 $\bigoplus_{s=0}^p C_s$ を持ち、$C_0$ と $C_p$ はそれぞれ単一の単純対象からなる半単純圏であり、$1 \leq s \leq p-1$ の $C_s$ は二つの単純対象 $\mathcal{X}_s^+$ と $\mathcal{X}_s^-$ を持つ。
• $\mathcal{X}_s^\pm$ の射影被覆 $\mathcal{P}_s^\pm$ は自己双対的かつインジェクティブであり、$1 \leq s \leq p-1$ では $\mathcal{X}_s^\pm$ の射影被覆である。
• $C_s$ 内の単純対象間の Ext$^1$ 群は $1 \leq s \leq p-1$ で非自明であり、$C_s$ が半単純でないことを確認する。
• 自己準同型代数 $B_s = \mathrm{End}_{C_s}(\mathcal{P}_s^+ \oplus \mathcal{P}_s^-)$ は、$\bar{U}_q(sl_2)$-mod における射影被覆の自己準同型代数 $B(\bar{U})$ と同型である。
• 主な結果は、アーベル圏としての同値性：$W(p)$-mod $\simeq \bar{U}_q(sl_2)$-mod であり、これはブロック圏の同値性と同型な自己準同型代数から導かれる。
• 任意の $W(p)$-加群 $M$ について、$l(M) \leq 1$ が成り立ち、$l(M) = 1$ を満たす非可約加群は、$1 \leq s \leq p-1$ のいずれかの $\mathcal{P}_s^\pm$ と同型である。