[論文レビュー] The trivial lower bound for the girth of $S_n$

Sean Eberhard|arXiv (Cornell University)|Jun 29, 2017

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 2被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、$d \geq 2$ 個の均等にランダムに選ばれた要素とその逆元によって生成される対称群 $S_n$ のランダムなケイリー群グラフの周長に対する非自明な下界 $\Omega(n^{1/3})$ を確立する。確率的群論と軌道解析を用いて、自由群内のランダムな語が $S_n$ で単位元に写像される確率を評価し、$O(n^{1/3})$ より短い語ではそのような関係が起こりにくいことを証明することで、従来の知られていたものよりも強い下界を得ている。

ABSTRACT

Consider the Cayley graph of $S_n$ generated by a random pair of elements $x,y$. Conjecturally, the girth of this graph is $Ω(n \log n)$ with probability tending to $1$ as $n o\infty$. We show that it is at least $Ω(n^{1/3})$.

研究の動機と目的

• ランダムな $d \geq 2$ 個の要素とその逆元によって生成される $S_n$ のランダムケイリー群グラフの周長に対する非自明な下界を確立すること。
• 同種のグラフについて、$\Omega(\sqrt{n\log n})$ の周長下界を主張した以前の証明に存在する欠陥を是正すること。
• 自由群内のランダムな語が $S_n$ で単位元に写像される確率について、厳密な確率的解析を提供すること。
• 周長が高確率で $\Omega\left(\left(\frac{n}{\log(2d-1)}\right)^{1/3}\right)$ 以上であることを示すこと。

提案手法

• ランダムな語が $\{1,\dots,n\}$ の要素に作用する様子を、語の評価による画像列を追跡することで、軌道に基づくアプローチを用いる。
• 以前の点がすべて異なるものとして条件付きで、軌道が単射でなかったり、以前の点を再訪問したりする確率を推定するために、和集合の上限を適用する。
• 語 $w$ が $S_n$ で単位元に評価される確率を抑えられるように、$m$ 個の互いに素な軌道の再帰的構成を用いる。
• 不等式 $P_{S_n}(w) \leq \left(\frac{mk^2}{n - mk}\right)^m$ を導出し、$m < n/k$ の条件下で $m = \lfloor n/(4k^2) \rfloor$ とすることで最適化する。
• 語の確率の上限を、自由群における短い語の数え上げと組み合わせることで、非自明な関係が生じる総確率を抑え込む。
• 不等式 $P_{S_n}(w) \leq \exp(-cn/k^2)$ を用いて、$k$ における指数的減衰を介して最終的な周長下界を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ランダムに選ばれた $d \geq 2$ 個の要素とその逆元によって生成される $S_n$ のランダムケイリー群グラフの周長に対する、既知の最良の下界は何か？
• RQ2 論文[2]で主張された $\Omega(\sqrt{n\log n})$ の周長下界の証明がなぜ失敗するのか？
• RQ3 完全な単射性を要件としないで、確率的軌道法を用いて非自明な周長下界を確立できるか？
• RQ4 長さ $k$ のランダムな語が $S_n$ で単位元に写像される確率は、$k$ と $n$ に対してどのように減少するか？

主な発見

• $n \to \infty$ のとき、ランダムケイリー群グラフ $\operatorname{Cay}(S_n, S)$ の周長は高確率で $\Omega(n^{1/3})$ 以上である。
• 論文は、$d \geq 2$ 個の生成子に対して、$\Omega\left(\left(\frac{n}{\log(2d-1)}\right)^{1/3}\right)$ の下界を確立している。
• 長さ $k$ のランダムな語 $w$ が $S_n$ で単位元に写像される確率は、ある定数 $c>0$ に対して $\exp(-cn/k^2)$ 以下である。
• 証明は、単位元への帰還確率を制御する際に単射性を仮定していないにもかかわらず、誤って制御していたという、以前の $\Omega(\sqrt{n\log n})$ の下界の主張における欠陥を是正している。
• 単一の軌道の完全な単射性を要求するのではなく、複数の互いに素な軌道を追跡し、衝突や再訪問の確率を抑え込むことで、この方法に依存している。