[論文レビュー] The triviality problem for profinite completions

Martin R. Bridson, Henry Wilton|arXiv (Cornell University)|Jan 10, 2014

Geometric and Algebraic Topology参考文献 25被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、有限生成表示された群が非自明な有限商を持つかどうか、あるいは同値に言えばそのプロフィニート完備化が自明かどうかを決定することは、アルゴリズム的に決定不能であることを証明している。著者らは、HNN拡大とスモールキャンセレーション技法を用いて語の問題をプロフィニート自明性問題へ符号化することで、この決定不能性を確立した。これは、双曲的かつ非正曲率の正方形複体群のクラスに対しても成立する。

ABSTRACT

We prove that there is no algorithm that can determine whether or not a finitely presented group has a non-trivial finite quotient; indeed, this remains undecidable among the fundamental groups of compact, non-positively curved square complexes. We deduce that many other properties of groups are undecidable. For hyperbolic groups, there cannot exist algorithms to determine largeness, the existence of a linear representation with infinite image (over any infinite field), or the rank of the profinite completion.

研究の動機と目的

• 有限生成群に真の有限指数部分群が存在するかどうかがアルゴリズム的に決定可能かどうかという長年の未解決問題を解消すること。
• この決定不能性を、コンパクトで非正曲率の正方形複体の基本群のような幾何的制約付きクラスへ拡張すること。
• 特に双曲群におけるプロフィニート完備化のアルゴリズム的限界を調査すること。
• ラージネス、無限次元線形表現、および仮想第一ベッチ数といった性質が、特定の群のクラスにおいても決定不能であることを確立すること。

提案手法

• スロブスコイの決定不能な有限群の普遍理論を用いて、有限生成群の再帰的系列を構成する。
• 符号化定理の導入：群の表示と語を入力として受け取り、元の群のプロフィニート完備化においてその語が自明であれば、新しい群のプロフィニート完備化が自明になるようなアルゴリズム。
• 語の問題の決定不能性をプロフィニート自明性問題へ埋め込むために、HNN拡大と被覆自由積を用いる。
• 符号化定理を適用し、無限次元線形表現をもたない、非自明でトーショントラスな双曲群から双曲群の系列を構成する。
• 有限指数部分群における核の構造と残り有限性を活用して、群の拡大における表現性質を転送する。
• 非残り有限な双曲群の存在と、双曲群におけるプロフィニート自明性問題の決定不能性との同値性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限生成群が真の有限指数部分群を持つかどうかを決定するアルゴリズムは存在するか？
• RQ2 コンパクトで非正曲率の正方形複体の基本群に対して、非自明な有限商の存在は決定可能か？
• RQ3 双曲群のプロフィニート完備化が自明であることは、群自体が自明であることと同値か？
• RQ4 ラージネス、無限次元線形表現、および無限の仮想第一ベッチ数といった性質は、双曲群において決定可能か？
• RQ5 トーショントラスな双曲群のクラスにおいても、プロフィニート自明性問題は決定不能か？

主な発見

• コンパクトで非正曲率の正方形複体の基本群に制限しても、有限生成群が真の有限指数部分群を持つかどうかを決定するアルゴリズムは存在しない。
• 有限生成群におけるプロフィニート自明性問題は決定不能であり、群のプロフィニート完備化が自明かどうかを決定するアルゴリズムは存在しない。
• 有限生成群において、無限大の像をもつ有限次元線形表現の存在は決定不能であり、非正曲率の正方形複体の基本群に対しても同様である。
• 双曲群において、非自明な有限商の存在は決定不能であり、これは非残り有限な双曲群の存在と同値である。
• 仮想第一ベッチ数とラージネスは、双曲群において決定不能な性質であり、これらは無限次元線形表現の存在に関連している。
• 本論文は、トーショントラスな双曲群の設定においても、プロフィニート自明性の決定不能性が継続することを確立した。このような群は、クaternion的双曲空間における均一格子を用いたスモールキャンセレーションによって構成可能である。