[論文レビュー] The Truncated Moment Problem on N 0

Maria Infusino, T. Kuna+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2015

Numerical Methods and Algorithms参考文献 15被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、与えられた有限個の最初のn次のモーメントを持つ非負整数（N₀）上の確率測度の存在に関する必要十分条件を確立する。与えられたモーメントをパラメータとする、N₀上で非負である最適なn次多項式を構築し、その期待値が非負であることを要求することで、n = 1, 2および部分的にn = 3の既存の結果を一般化し、n ≤ 5に対して明示的な実現可能性条件を提供するとともに、n ≥ 6に対しては有限計算可能な形を与え、任意のnに対して実現可能性を保証するモーメントに基づく境界を提示する。

ABSTRACT

We find necessary and sufficient conditions for the existence of a probability measure on N0, the nonnegative integers, whose first n moments are a given n-tuple of nonnegative real numbers. The results, based on finding an optimal polynomial of degree n which is nonnegative on N0 (and which depends on the moments), and requiring that its expectation be nonnegative, generalize previous results known for n = 1, n = 2 (the Percus-Yamada condition), and partially for n = 3. The conditions for realizability are given explicitly for n ≤ 5 and in a finitely computable form for n ≥ 6. We also find, for all n, explicit bounds, in terms of the moments, whose satisfaction is enough to guarantee realizability. Analogous results are given for the truncated moment problem on an infinite discrete semi-bounded subset of R.

研究の動機と目的

• 与えられた最初のn次のモーメントの有限列を持つ、N₀上の確率測度が存在するための必要十分条件を特定すること。
• n = 1（Percus-Yamada）およびn = 2の既知の結果を一般化し、任意のn ≥ 3にまで拡張すること。
• n ≤ 5に対して明示的な実現可能性条件を提供すること。
• 任意のnに対して、実現可能性を保証する明示的境界をモーメントの観点から導出すること。
• 実数の無限離散半有界部分集合上での部分的モーメント問題への枠組みの拡張すること。

提案手法

• 与えられたモーメントをパラメータとする、非負整数N₀上で非負である最適なn次多項式を構築すること。
• 未知の測度の下でのこの多項式の期待値が非負であることを要求し、モーメント不等式の系を導出すること。
• N₀における多項式の非負性から導かれるモーメントに関する線形不等式として、実現可能性条件を定式化すること。
• 代数的技法を用いて最適多項式およびその期待値を特徴づけ、問題を有限系の可解性に還元すること。
• 最適多項式の構造を分析することで、実現可能性を保証するモーメントの明示的境界を導出すること。
• 類似する多項式の非負性とモーメント制約を用いて、Rの離散的半有界部分集合への手法の拡張を行うこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 与えられたn個の非負実数の組が、N₀上の確率測度の最初のn次のモーメントであるための必要十分条件は何か？
• RQ2 特にn ≤ 5の場合に、実現可能性条件を明示的にどのように表現できるか？
• RQ3 N₀上で非負である最適なn次多項式の構造は何か？この多項式が得る実現可能性条件は、最もきついものである。
• RQ4 不等式系を解かずに、モーメントの明示的境界によって実現可能性を保証できるか？
• RQ5 この手法は、Rの無限離散半有界部分集合上での部分的モーメント問題にどのように一般化できるか？

主な発見

• 本稿は、n ≤ 5の場合に、最適なn次多項式の非負性に基づいて、N₀上での部分的モーメント問題の明示的実現可能性条件を導出する。
• n ≥ 6の場合、実現可能性条件は有限計算可能な形で与えられ、アルゴリズムによる検証が可能である。
• 著者らは、与えられたモーメントの関数として表される明示的境界を導出し、それらがN₀上に対応する確率測度の存在を保証する。
• 本手法は、n = 2のPercus-Yamada条件を一般化し、n = 3の部分的結果を任意のnにまで拡張する。
• 枠組みは、Rの無限離散半有界部分集合へと拡張され、類似した実現可能性条件と境界が得られる。
• 最適多項式の構築により、N₀上で多項式の非負性に基づく実現可能性条件の中で最もきついものが得られる。