[論文レビュー] The truncated tracial moment problem

Sabine Burgdorf, Igor Klep|arXiv (Cornell University)|Jan 20, 2010

Advanced Topics in Algebra参考文献 18被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、非可換多項式におけるCurtoとFialkowの古典的モーメント問題の結果のトレース的類似を確立する。トレース的モーメント行列が半正定値であり、かつフラット拡張を許容するならば、トレース的有限モーメント表現を有するようなトレース的有限列が存在することを示しており、トレース的有限モーメント問題を完全に解決し、ヒルベルト平方および交換子の和によるトレース正性多項式の特徴付けを可能にする。

ABSTRACT

We present tracial analogs of the classical results of Curto and Fialkow on moment matrices. A sequence of real numbers indexed by words in non-commuting variables with values invariant under cyclic permutations of the indexes, is called a tracial sequence. We prove that such a sequence can be represented with tracial moments of matrices if its corresponding moment matrix is positive semidefinite and of finite rank. A truncated tracial sequence allows for such a representation if and only if one of its extensions admits a flat extension. Finally, we apply the theory via duality to investigate trace-positive polynomials in non-commuting variables.

研究の動機と目的

• 非可換な文脈への古典的モーメント問題理論の拡張を、循環置換におけるトレース的不変性を用いて行う。
• 非可換変数の置換に関して循環的不変なトレース的列が、行列のトレース的モーメントとしてどのように生じるかを特定する。
• トレース的モーメント表現と非可換多項式のトレース正性との間に双対性を確立する。
• フラット拡張に基づくアルゴリズム的基準を提示し、トレース的モーメント表現の存在を保証する。

提案手法

• 非可換変数の置換に関して循環的不変なトレース的列を導入する。
• トレース的モーメント行列を定義し、それが列を行列多項式のトレースとして表現する役割を果たすことを確立する。
• フラット拡張理論を適用し、一意的な表現を持つ有限ランクで半正定値のトレース的モーメント行列を特徴付ける。
• 双対性を用いて、トレース的モーメント表現の存在と非可換多項式のトレース正性との関係を結ぶ。
• 行列不等式およびコーシー＝シュワルツの不等式を用いて、表現不可能な場合に矛盾を導出する。
• 正定値モーメント行列を持つトレース的有限列の凸錐の極値点を分析し、表現における行列ブロック構造を制約する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非可換語でインデックス付けられた実数の有限列が、行列のトレース的モーメントとして表現可能であるのはいつか？
• RQ2 トレース的モーメント行列にどのような条件が課されると、与えられた列に対してトレース的モーメント表現が存在するか？
• RQ3 トレース的モーメント問題と非可換多項式のトレース正性との間の双対性をどのように活用して、このような多項式を特徴付けることができるか？
• RQ4 モーメント行列のフラット拡張が、トレース的モーメント表現の存在を決定づける役割を果たすのはどのような場合か？
• RQ5 特定の多項式クラス（例えば2変数4次式や2次形式）が、この枠組みを用いてトレース正性であることを示せるか？

主な発見

• トレース的列がトレース的モーメント表現を有するのは、その対応するトレース的モーメント行列が半正定値かつ有限ランクであるとき、かつそのときに限る。
• トレース的有限列がトレース的モーメント表現を有するのは、その拡張のうち一つがフラット拡張を許容するとき、かつそのときに限る。
• 表現を有するトレース的有限列のモーメント行列は、半正定値であり、かつフラット拡張を許容する必要がある。
• トレース正性である2変数4次多項式（2つの非可換変数における同次多項式）は、ヒルベルト平方の和の錐に属する。
• トレース正性である2変数2次形式多項式（各変数について次数が2以下）は、巡回的にヒルベルト平方の和に等価である。
• 正定値モーメント行列を持つトレース的有限列であっても、トレース的モーメント表現を有しないものが存在するため、フラット拡張条件の必要性が示された。