[論文レビュー] The Tur\'an number of blow-ups of trees

Andrzej Grzesik, Oliver Janzer+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 15, 2019

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 11被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、2つの主要なケースにおいて、Erdősが1967年に提起したr-非退化な二部グラフのTurán数に関する予想を証明する。すなわち、複雑度が2以下の完全なr-非退化な二部グラフ、および木のブロー・アップ（blow-up）のケースである。超飽和（supersaturation）と、補助グラフ上での新規のランダムウォークの手法を用いて、このようなグラフのTurán数がO(n^{2−1/r})であることを確立し、既存の結果を一般化して、すべての木のブロー・アップを含む広範なr-非退化な二部グラフのクラスについて予想を確認する。

ABSTRACT

A conjecture of Erd\\H{o}s from 1967 asserts that any graph on $n$ vertices which does not contain a fixed $r$-degenerate bipartite graph $F$ has at most $Cn^{2-1/r}$ edges, where $C$ is a constant depending only on $F$. We show that this bound holds for a large family of $r$-degenerate bipartite graphs, including all $r$-degenerate blow-ups of trees. Our results generalise many previously proven cases of the Erd\\H{o}s conjecture, including the related results of F\\"uredi and Alon, Krivelevich and Sudakov. Our proof uses supersaturation and a random walk on an auxiliary graph.

研究の動機と目的

• Erdős（1967年）が提起したr-非退化な二部グラフのTurán数に関する長年の予想を解決すること。
• 木のブロー・アップという、r-非退化な二部グラフの重要なクラスに対する、極値的グラフ関数の既知の境界を拡張すること。
• FürediおよびAlon–Krivelevich–Sudakovの結果を一般化し、より広いグラフ族に対して、予想されるO(n^{2−1/r})の境界を証明すること。
• 補助グラフ上の超飽和とランダムウォークを用いた一般枠組みを確立し、部分グラフ埋め込みを制御すること。

提案手法

• ホストグラフ内の頂点のr集合を頂点とする補助グラフGを構築し、共通近傍によって辺を定義する。
• 超飽和を用いて、密度の高い補助グラフGが、目的のグラフFの多数のコピーを含むことを保証する。
• 補助グラフ上のランダムウォークを適用し、木のブロー・アップからホストグラフへの単射準同型を発見する。
• すべてのr-非退化な木のブロー・アップを部分グラフとして含む構造的クラスである(r,t)-ブロー・アップ木を定義する。
• 木のサイズに関する帰納法を用い、ブロー・アップの各独立集合を、ブロー・アップ構造の指定された集合に埋め込む。
• 次数条件と確率的評価を活用し、ランダム写像が高確率で衝突を避けることを示し、単射性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 r-非退化な木のブロー・アップのTurán数は、予想されるO(n^{2−1/r})の境界を満たすか？
• RQ2 Erdősのr-非退化な二部グラフに関する予想は、木のブロー・アップおよび低複雑度のグラフに拡張可能か？
• RQ3 ランダムウォークと超飽和を用いて、構造的ホストグラフへのグラフのブロー・アップの埋め込みを一般化する方法は存在するか？
• RQ4 F[r]のTurán数は、FのTurán数を用いて表され、指数が1/rに比例する形でスケーリングされるか？

主な発見

• 複雑度が2以下の任意の完全なr-非退化な二部グラフのTurán数はO(n^{2−1/r})である。
• 各頂点がサイズrの独立集合に置き換えられたr-ブロー・アップ木T[r]のTurán数はO(n^{2−1/r})である。
• 任意のr-非退化な木のブロー・アップは、適切なtに対してある(r,t)-ブロー・アップ木の部分グラフであるため、構造的埋め込みが可能である。
• r集合の補助グラフG上でランダムウォークを適用すると、Gへの単射準同型が正の確率で得られ、元のグラフにブロー・アップのコピーが存在することを示唆する。
• この手法により、木に関する予想3.1が確認され、ex(n, F[r]) = O(n^{2−α/r})であることが示された。ただしex(n, F) = O(n^{2−α})であると仮定する。
• この境界は、木のブロー・アップに対してタイトであり、完全二部グラフK_{s,t}[r] = K_{rs,rt}に対しても成立し、このケースに対しても予想が確認された。