[論文レビュー] The turnpike with lack of observability

Darío Pighin, Noboru Sakamoto|arXiv (Cornell University)|Jul 28, 2020

Probabilistic and Robust Engineering Design参考文献 33被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、状態の可観測性が制限される状況において、線形二次最適制御問題におけるターンパイク性質を、弱化された安定化可能性および検出可能性条件のもとで確立する。特に、可観測モードが安定化可能であれば、完全な検出可能性がなくても、全制御入力と可観測状態においてターンパイク現象が成立することを示し、固定端末条件のもとでのターンパイク行動を、未可観測モードに関して弱いオーロンス型条件を用いて特徴づける。

ABSTRACT

We obtain turnpike results for optimal control problems with lack of stabilizability in the state equation and/or detectability in the state term in the cost functional. We show how, under weakened stabilizability/detectability conditions, terminal conditions may affect turnpike phenomena. Numerical simulations have been performed to illustrate the theoretical results.

研究の動機と目的

• コスト関数における状態の可観測性が制限される場合に、線形二次最適制御問題におけるターンパイク性質の有効性を調査すること。
• 安定化可能性および検出可能性が弱くされた条件下で、全制御入力と可観測状態においてターンパイク現象が依然として成立する条件を特定すること。
• システムが完全に可観測または安定化可能でない場合に、端末条件がターンパイク行動に与える影響を分析すること。
• ハミルトニアン行列が未可観測不安定モードのため純虚数固有値を持つ可能性がある状況において、古典的ターンパイク理論を拡張すること。
• 熱方程式や波動方程式などのPDE制御系における数値的妥当性を、シミュレーションを通じて検証すること。

提案手法

• 自由端末問題において、カルマン分解を用いて状態空間を検出可能部分空間と未検出可能部分空間に分離する。
• ハミルトニアン系とハミルトニアン行列のスペクトル解析を用いて、最適性系およびその解を研究する。
• 未可観測モードがターンパイク性質を損なわない条件を特徴づけるために、弱いオーロンステストを適用する。
• ハミルトニアンの安定・不安定・臨界部分空間への分解を用いて、最適制御および状態の時間発展を分析する。
• スペクトル性質を用いて、解の安定成分および不安定成分のノルムを評価することで、指数的ターンパイク推定を導出する。
• 熱方程式や波動方程式などのPDEに適用するため、有限次元フーリエモードへの射影を施し、制御点および観測点における固有関数の条件を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コスト関数における状態の部分的可観測性がある場合、どのような条件下でターンパイク性質が成立するか？
• RQ2 未可観測だが不安定なモードが存在する場合、固定端末条件のもとで最適制御問題におけるターンパイク行動にどのように影響を与えるか？
• RQ3 システムが古典的意味での検出可能または安定化可能でない場合でも、ターンパイク性質を保証できるか？
• RQ4 可観測性が制限される状況で、端末条件がターンパイク現象の出現または抑制に果たす役割は何か？
• RQ5 特に純虚数固有値を有するハミルトニアン行列のスペクトル性質が、最適軌道の長時間挙動にどのように影響を与えるか？

主な発見

• 自由端末の場合、可観測モードが安定化可能であれば、検出可能性がなくても、全制御入力と可観測状態においてターンパイク性質が成り立つ。
• ポテンシャル付き熱方程式では、観測点で非ゼロの固有関数が、制御点でも非ゼロであるか、安定モードに対応する場合にターンパイク性質が成立する。
• 波動方程式では、制御点でゼロとなる固有関数が、観測点でもゼロとなる場合にターンパイク性質が成立する。
• 固定端末の場合、未可観測モードが臨界的でない、すなわち自由ダイナミクスにおいて純虚数固有値を持たない場合に、全制御入力と状態においてターンパイク性質が成立する。
• 未可観測モードのためハミルトニアンに純虚数固有値が存在する場合、制御入力と可観測状態は指数的ターンパイクを示すが、未観測状態は指数的小さな残差を除き、時間に比例して線形に増大する。
• 数値的シミュレーションにより、理論的条件が成立する場合、弱い可観測性のもとでも最適軌道が定常解に迅速に収束することが確認された。