[論文レビュー] The Tutte Polynomial of a Morphism of Matroids 6. A Multi-Faceted Counting Formula for Hyperplane Regions and Acyclic Orientations

Michel Las Vergnas|arXiv (Cornell University)|May 24, 2012

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 12被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、有向マトロイドのパースペクティブにおける方向関連パrameterの4変数生成関数を導入し、それがTutte多項式の (x+u, y+v) における評価に等しいことを示している。主な貢献は、Tutte多項式の評価を用いたハイパーサブスペース領域およびアサイクリックな向き付けの列挙を統一する多面的な数え上げ公式であり、方向の活動とアクティブな分割を用いた偏微分の新しい展開を導出している。

ABSTRACT

We show that the 4-variable generating function of certain orientation related parameters of an ordered oriented matroid is the evaluation at (x + u, y+v) of its Tutte polynomial. This evaluation contains as special cases the counting of regions in hyperplane arrangements and of acyclic orientations in graphs. Several new 2-variable expansions of the Tutte polynomial of an oriented matroid follow as corollaries. This result hold more generally for oriented matroid perspectives, with specific special cases the counting of bounded regions in hyperplane arrangements or of bipolar acyclic orientations in graphs. In corollary, we obtain expressions for the partial derivatives of the Tutte polynomial as generating functions of the same orientation parameters.

研究の動機と目的

• 有向マトロイドのパースペクティブにおけるハイパーサブスペース領域およびアサイクリックな向き付けを数える統一的な生成関数の構築。
• 方向の活動に基づくTutte多項式の4変数展開を、既存の2変数公式を一般化する形で確立する。
• 方向に基づく状態モデルを用いて、Tutte多項式の偏微分の新しい展開を導出する。
• アクティブな分割とアクティブな双対写像を結びつけ、基本集合から向き付けへの結果の拡張を行う。
• ハイパーサブスペース配置における有界領域およびグラフにおけるバイポーラ的アサイクリックな向き付けへの数え上げ公式の一般化。

提案手法

• 有向マトロイドのパースペクティブ M→M′ における部分集合 A⊆E の方向の活動 θ∗ および θ を用いて、4変数生成関数を定義する。
• t(M, M′; x+u, y+v, 1) が、すべての部分集合 A⊆E について (x/2)^θ∗(A) * (y/2)^θ(A) * (u/2)^θ∗(A) * (v/2)^θ(A) の和に等しいことを証明し、[20]の2変数公式を一般化する。
• 変数 u および v におけるテイラー展開を用いて、固定された方向の活動を持つ部分集合の生成関数として、Tutte多項式の偏微分を導出する。
• アクティブな双対写像の枠組みを用いて、方向の活動を基本のTutte活動に関連づけ、組合せ的解釈を可能にする。
• 双対的および原始的なアクティブクラスからなるアクティブな分割を構築し、所定の θ∗ および θ 値を持つ部分集合を体系的に数える。
• アクティブな分割におけるクラスの反転が方向の活動を ±1 ずつ変化させることを利用し、導出展開における単項式の生成を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして、有向マトロイドのパースペクティブにおけるハイパーサブスペース領域およびアサイクリックな向き付けを数える4変数生成関数を構築できるか？
• RQ2 Tutte多項式の偏微分と方向に基づくパrameterとの間の正確な関係は何か？
• RQ3 アクティブな分割が、固定された方向の活動を持つ部分集合の数え上げをどのように可能にするか？
• RQ4 マトロイドのパースペクティブの文脈において、方向の活動はTutte活動をどのように一般化するか？
• RQ5 アクティブな双対写像を、導出展開における方向の活動とTutte活動を関連付ける形に拡張できるか？

主な発見

• 4変数生成関数 t(M, M′; x+u, y+v, 1) は、すべての部分集合 A⊆E について (x/2)^θ∗(A) * (y/2)^θ(A) * (u/2)^θ∗(A) * (v/2)^θ(A) の和に等しく、多面的な数え上げ公式を提供する。
• 偏微分 ∂^{p+q}t / ∂x^p∂y^q の (x,y,1) における値は、p!q! に等しく、θ∗(A)=p かつ θ(A)=q を満たすすべての A⊆E について x^{θ∗(A)} y^{θ(A)} の和に等しい。
• 補題4.2では、t / dx^p の (x,x,1) における p 階微分が p! に等しく、θ∗(A)+θ(A)=p を満たすすべての A⊆E について x^{θ∗(A)+θ(A)} の和に等しい。
• θ∗(A)=p かつ θ(A)=q を満たす部分集合 A は、アクティブな分割における双対的および原始的なアクティブクラスの和集合を反転させることで得られる向き付けに対応する。
• アクティブな分割の構造により、方向の活動に基づく向き付けの体系的な数え上げが可能となり、基本集合から向き付けへのダウソン分割の一般化が達成される。
• 方向の活動 θ∗ および θ は、アクティブな双対写像を介してTutte活動と関係づけられる：θ∗(A) = cr(A′), θ∗(A) = ι(A′), θ(A) = nl(A′), θ(A) = ϵ(A′) であり、双対基底 A′ に対して成り立つ。