[論文レビュー] The twistor equation in Lorentzian spin geometry

Helga Baum, Felipe Leitner|ArXiv.org|May 4, 2003

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 23被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、特異点のないtwistorスピン接続を許容するローレンツ多様体の局所的コンフォール幾何を次元7まで分類する。twistor方程式とディラック電流の解析を用いて、そのような多様体は、スピン接続のノルムとクaternion的構造に応じて、平行スピン接続を持つブリンクマン空間にコンフォール同値であるか、アインシュタイン–ササキ多様体であるか、またはコンフォール平坦空間であることが示され、それぞれの場合に明示的なホロノミー群と曲率制約が与えられる。

ABSTRACT

In this paper we discuss the twistor equation in Lorentzian spin geometry. In particular, we explain the local conformal structure of Lorentzian manifolds, which admit twistor spinors inducing lightlike Dirac currents. Furthermore, we derive all local geometries with singularity free twistor spinors that occur up to dimension 7.

研究の動機と目的

• 特異点のないtwistorスピン接続を許容するローレンツ多様体の局所的コンフォール構造を特定すること。
• 次元≤7における、アインシュタイン–ササキ、ブリンクマン、pp波などの可能なすべての幾何的構造（例：）を分類すること。
• twistorスピン接続の性質（特にディラック電流とノルム）が、多様体の基本的ホロノミー群と曲率に与える影響を関連付けること。
• リーマン幾何に比べてまだ十分に発展していないローレンツ幾何におけるtwistorスピン接続の理解を拡張すること。

提案手法

• ローレンツスピン多様体上のスピン接続φに対して、twistor方程式 ∇_X φ + (1/n)X·Dφ = 0 を分析する。
• SおよびTwバンドルへの直交射影を用いて、スピン接続をディラック成分とtwistor成分に分解する。
• 計量のスケーリング g ↦ e^{2σ}g におけるディラック作用素とtwistor作用素のコンフォール不変性を適用する。
• 因果的性質（時空的、光的、空間的）を有するディラック電流 V_φ = ∑ σ^i · φ を分析し、幾何の分類に用いる。
• スピン接続バンドル上のクaternion的構造 J を用いてスピン接続の複素線形結合とそのノルムを分析する。
• ホロノミー群の解析と曲率制約（例：アインシュタイン条件、リッチ平坦性）を用いて、局所的twistorスピン接続データからグローバル構造を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 次元≤7におけるどのローレンツ幾何が特異点のないtwistorスピン接続を許容するか？
• RQ2 ディラック電流 V_φ の因果的性質が多様体のコンフォール構造にどのように影響するか？
• RQ3 twistorスピン接続がアインシュタイン–ササキ空間またはブリンクマン空間の構造を誘導する条件は何か？
• RQ4 スピン接続バンドル上のクaternion的構造 J は、解の分類においてどのような役割を果たすか？
• RQ5 twistorスピン接続を持つ多様体が、時空的直線とリッチ平坦ケーラー多様体の積にコンフォール同値であるのはどのような場合か？

主な発見

• 次元7において、ディラック電流 V_φ が光的であり、⟨φ,φ⟩=⟨φ,Jφ⟩=0 であれば、(M,g) は平行スピン接続を持つブリンクマン空間にコンフォール同値であり、ホロノミー群は 1⋉ℝ⁵、(SU(2)×1)⋉ℝ⁵、または 1×SU(2) ⊂ SO(1,2)×SO(4) に制限される。
• ディラック電流が光的でない場合、g̃ = |⟨φ,φ⟩|⁻²g、(Re⟨φ,Jφ⟩)⁻²g、または (Im⟨φ,Jφ⟩)⁻²g のいずれかのコンフォールスケーリングがアインシュタイン計量である。
• リッチ平坦計量の場合は、多様体は局所的に ℝ¹,⁰ × N⁶ に等長であり、N⁶ は6次元のリッチ平坦ケーラー多様体である。
• 実スカラーのキリングスピン接続φが存在し、Q_φ = |φ|⁴ + g(V_φ,V_φ) < 0 であれば、(M,g) は局所的に f(t) = d cosh(t+c) であるワーピング積 ℝ×F に等長であり、近似的にケーラー多様体にコンフォール同値である。
• Q_φ = 0 であれば、(M,g) は局所的に ℝ¹,⁰ と6次元のリッチ平坦ケーラー多様体の積にコンフォール同値である。
• キリング数が虚数であれば、時間的向きの反転により (M,g) はローレンツ的アインシュタイン–ササキ多様体である。これは命題3.2による。