[論文レビュー] The two dimensional distribution of values of $\zeta(1+it)$

Youness Lamzouri|arXiv (Cornell University)|Jan 24, 2008

Analytic Number Theory Research参考文献 15被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、複素平面上におけるリーマンゼータ関数 ζ(1+it) の2次元的値分布を調査し、|ζ(1+it)| と arg ζ(1+it) の同時分布に注目する。ランダムオイラー積モデルとトーラス上のフーリエ解析を用いて、極値の尾確率について精密な漸近的推定を確立し、極端な値が正の実軸付近に集中すること、および引数が τ/log τ に比例する分散をもつ近似的正規分布に従うことを見いだす。これらの結果は、大きな素数を法とするディリクレ指標 χ についての L(1,χ) に拡張可能である。

ABSTRACT

We prove several results on the distribution function of $\\zeta(1+it)$ in the complex plane, that is the joint distribution function of $\\arg\\zeta(1+it)$ and $|\\zeta(1+it)|$. Similar results are also given for $L(1,\\chi)$ (as $\\chi$ varies over non-principal characters modulo a large prime $q$).

研究の動機と目的

• 大きな t における |ζ(1+it)| と arg ζ(1+it) の同時分布を理解すること、特に複素平面上での大値の尾部挙動に注目すること。
• 単位円上に独立に一様分布する確率変数 X(p) を用いて、ランダムオイラー積 L(1,X) = ∏_p≤y (1 − X(p)/p)^{-1} を定義し、ζ(1+it) の分布をモデル化すること。
• 1 ≪ τ ≤ log₂T − log₃T の範囲で、|ζ(1+it)| > e^γτ かつ |arg ζ(1+it)| > θ を満たす t ∈ [T,2T] の測度について、精密な漸近的推定を確立すること。
• 非本質的指標を法とするディリクレ L 関数 L(1,χ) についても、同様の分布的挙動を示すように結果を拡張すること。
• 大規模な |ζ(1+it)| をとるとき、ζ(1+it) の引数が漸近的に正規分布に従うことを示し、その分散が τ に依存する特定の形をとることを示すこと。

提案手法

• 単位円上に独立に一様分布する確率変数 X(p) を用いて、ランダムオイラー積 L(1,X) = ∏_p≤y (1 − X(p)/p)^{-1} を定義する確率的モデルを構築する。
• p ≤ y に対する {p^it mod 1} の等分布性を n 次元トーラス上のフーリエ解析を用いて分析し、q を法とする指標 χ に対する {χ(p)} の等分布性に拡張する。
• モーメント法を適用し、ζ(1+it) と L(1,X) のモーメントを比較することで、特定の条件下でそれらが漸近的に等しくなることを示す。
• ランダムモデルを用いて、和関数および指数和に関する推定を応用し、同時分布関数 Φ_T(τ,θ) の上界および下界を導出する。
• 指標の正規直交性および算術級数上での指数和の評価を用いて、q を法とする指標値 {χ(p)} の一様分布性を証明する。
• 適切な重みを用いた arg ζ(1+it) の特性関数を評価することで、引数の正規性を確立し、分散が log(τ⁻¹−C)/(2e^{τ−1−C}) である正規分布に収束することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ζ(1+it) の大規模な値は複素平面上でどのように分布しているか、特にその絶対値と引数の観点から。
• RQ2 |ζ(1+it)| > e^γτ かつ |arg ζ(1+it)| > θ を満たす t ∈ [T,2T] の測度の正確な漸近的挙動は何か？
• RQ3 ランダムオイラー積モデルは、ζ(1+it) の分布をどの程度正確に反映しているか？
• RQ4 大規模な |ζ(1+it)| をとるとき、ζ(1+it) の引数は漸近的に正規分布に従うか？
• RQ5 ζ(1+it) に関する結果は、大きな素数 q を法とするディリクレ指標 χ についての L(1,χ) にどの程度拡張可能か？

主な発見

• 1 ≪ τ ≤ log₂T − log₃T かつ固定された θ > 0 の範囲で、|ζ(1+it)| > e^γτ かつ |arg ζ(1+it)| > θ を満たす t ∈ [T,2T] の割合は exp(−e^{τ(1+o_θ(1))}) のオーダーで減少し、尾部が速すぎないことが示される。
• 1 ≪ τ ≤ (log₂T)/2 − 2 log₃T かつ (log τ)√(log₂τ)/τ < θ ≪ 1 の範囲で、同時尾確率は Φ_T(τ,θ) = exp(−e^{τ + θ²τ/(2 log τ) + O(θ²τ/log₂τ)} ) を満たし、引数におけるガウス型の減衰が明らかになる。
• |ζ(1+it)| > e^γτ を満たす t ∈ [T,2T] のほとんどすべての値について、|arg ζ(1+it)| ≤ (log τ)√(log₂τ)/τ が成り立ち、例外的な集合の測度は exp(−exp(τ + (log τ log₂τ)/2)) 以下である。
• 大規模な |ζ(1+it)| ≈ e^γτ をとるとき、ζ(1+it) の引数は平均 0、分散 log(τ⁻¹−C)/(2e^{τ−1−C}) の正規分布に漸近的に従う。ここで C は修正ベッセル関数 I₀(t) の積分によって定義される正の定数である。
• 非本質的指標を法とする L(1,χ) に対しても、同様の尾部推定および引数の正規性が得られ、τ ≤ log₂q − log₃q の範囲で一様に成り立つ。
• ラング＝ヴァルトシュマイド予想が成り立つと仮定すれば、Φ_T(τ,θ) の上界および下界は、1 ≪ τ ≤ log T − log 10 の全範囲で条件なしに成り立つことが確認され、モデルの頑健性が裏付けられる。