[論文レビュー] The Two Dimensional Hannay-Berry Model

Shamgar Gurevich, Ronny Hadani|ArXiv.org|Dec 13, 2003

Advanced Topics in Algebra参考文献 6被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、有理数Planck定数に対して、2次元シンプレクティックトーラスの正準的かつ等長的量子化を、関数と完全なシンプレクティック群SL₂(ℤ)の同時量子化として実現することによって構築する。群作用におけるねじれキャラクター空間上の唯一の固定点を確立し、射影的等長的量子化を可能にし、それが一意に12個の線形表現に引き上げられることを示し、HannayとBerryが提起した長年の問い、すなわち量子化された群作用の線形化可能性を解決する。

ABSTRACT

The main goal of this paper is to construct the Hannay-Berry model of quantum mechanics, on a two dimensional symplectic torus. We construct a simultaneous quantization of the algebra of functions and the linear symplectic group $\G =$ SL$_2 (\Z)$. We obtain the quantization via an action of $\G$ on the set of equivalence classes of irreducible representations of Rieffel`s quantum torus $\Ad$. For $\h \in \Q$ this action has a unique fixed point. This gives a canonical projective equivariant quantization. There exists a Hilbert space on which both $\G$ and $\Ad$ act equivariantly. Combined with the fact that every projective representation of $\G$ can be lifted to a linear representation, we also obtain linear equivariant quantization.

研究の動機と目的

• 量子化トーラスモデルにおけるシンプレクティック群SL₂(ℤ)の射影的表現が線形化可能かどうか、Hannay-Berryの問いを解決すること。
• 2次元シンプレクティックトーラス上で、関数代数と完全な群SL₂(ℤ)の同時的かつ等長的量子化を構築すること。
• 有理数Planck定数ħ ∈ ℚに対して、一意の正準的射影的等長的量子化が存在することを確立すること。
• この設定において、SL₂(ℤ)のすべての射影的表現が、正確に12通りの異なる方法で線形表現に引き上げられることを示すこと。

提案手法

• 著者たちはRieffelの量子トーラス代数𝒜ℏを用い、双対格子Λ*上のねじれキャラクターを用いてその既約表現を分類する。
• 彼らは、ねじれキャラクター空間QℏにΓ作用を定義し、𝒜ℏの既約表現の集合がQℏとΓ-等長的に同型であることを証明する。
• 彼らは、唯一のΓ不変ねじれキャラクターq₀ ∈ Qℏを同定し、これは群作用における唯一の固定点をなすものであり、正準的量子化を可能にする。
• 唯一の固定点の存在が、関連する表現空間を介して正準的射影的等長的量子化を導く。
• 彼らは、群コホホロジーを用い、生成子S, B, Zと関係式S² = B³ = Z² = ZによるΓの提示を用いて、Γの射影的表現が正確に12通りの方法で線形表現に引き上げられることを示す。これは12乗根に一致する。
• この構成はEgorovの恒等式と整合的であり、量子化が関数上の群作用と可換であることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Hannay-Berryモデルは、θ部分群ΓΘに限定されるのではなく、完全なシンプレクティック群SL₂(ℤ)に拡張可能か？
• RQ2 量子化トーラスモデルにおけるSL₂(ℤ)の射影的表現は線形化可能か、すなわち線形表現への上昇を許容するか？
• RQ3 有理数Planck定数ħ ∈ ℚに対して、一意の正準的射影的等長的量子化が存在するか？
• RQ4 この設定において、SL₂(ℤ)の射影的表現の異なる線形上昇はいくつ存在するか？

主な発見

• Γ不変のねじれキャラクターq₀ ∈ Qℏが一意に存在し、これはねじれキャラクター空間上の群作用における正準的固定点を提供する。
• この一意の固定点は、有理数ħにおける2次元トーラス上の関数代数の正準的射影的等長的量子化を生じる。
• 量子ヒルバート空間上のSL₂(ℤ)の射影的表現は、正確に12通りの異なる方法で線形表現に引き上げられ、これは12乗根に一致する。
• この構成は、関数代数と完全な群SL₂(ℤ)の両方の線形等長的量子化を同時に実現し、Egorovの恒等式を満たす。
• 従来のθ部分群ΓΘに制限された構成に比べ、本手法は完全なシンプレクティック群への量子化を拡張する。
• 量子化手順は古典的極限ħ → 0と整合的であり、演算子の交換子からポisson括弧が回復される。