[論文レビュー] The u-invariant of the function fields of p-adic curves

R. Parimala, V. Suresh|arXiv (Cornell University)|Aug 23, 2007

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 4被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、非2進的p進体上の曲線の関数体Kのu不変量が正確に8であることを証明しており、K上で9変数以上の任意の二次形式が非自明な零点を持つことを確認している。証明は、ガロアコホモロジーにおける記号の局所-大域原理とp進関数体における分岐構造に依拠しており、中心単純代数と非分岐コホモロジーの消滅に関するサルトマンの結果を発展させている。

ABSTRACT

The u-invariant of a field is the maximum dimension of ansiotropic quadratic forms over the field. It is an open question whether the u-invariant of function fields of p-aidc curves is 8. In this paper, we answer this question in the affirmative for function fields of non-dyadic p-adic curves.

研究の動機と目的

• p進曲線の関数体のu不変量が8であるかどうかという未解決問題を解消すること。
• このような体上で9変数以上の任意の二次形式が非自明な零点を持つことを確立すること。
• H³(K, μ₂)における記号の局所-大域原理を証明し、局所的な解を大域的な解に持ち上げることを可能にすること。
• 非分岐コホモロジーの消滅とp進ガロアコホモロジーの構造を活用して、u不変量を制御すること。
• 以前の結果（11変数で十分である）を拡張し、8という鋭い上限を示すこと。

提案手法

• H³(K, μ₂)における記号の局所-大域原理を用い、任意の記号ζ ∈ H³(K, μ₂)がすべての離散付値vについてζ = α ∪ (h_v)と分解できるならば、ある大域的h ∈ K*に対してζ = α ∪ (h)と分解できることを示す。
• サルトマンの結果（H²(K, μ₂)の任意の元は高々2つの記号の和として表せる）を適用し、二次形式の複雑さを制限する。
• Katoとサルトマンによる結果を応用し、Kの正則モデルXに対して非分岐コホモロジー群H³_nr(K/X, ℤ/2ℤ(2))が消えること（重要な入力）。
• 弱近似を用いて、すべてのcodimension-one点で局所的条件を満たす大域的元f, g, h ∈ K*を構成する。
• 問題を、3重Pfister形式φがφ = 〈1,f〉〈1,g〉〈1,h〉と書けることを示す問題に還元する。ただしf（またはg）は与えられた2変数（または3変数）形式の値である。
• 二次形式論とガロアコホモロジーの間の翻訳に、同型写像e₃: I³(K) → H³(K, μ₂)を適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 p ≠ 2のとき、p進曲線の関数体Kのu不変量は正確に8か？
• RQ2 H³(K, μ₂)の任意の元は、fが与えられた2変数または3変数二次形式の値であるような記号(f)·(g)·(h)として表せるか？
• RQ3 Kの正則モデルのcodimension-one点に中心を持つ離散付値に関して、H³(K, μ₂)における記号の局所-大域原理が成り立つか？
• RQ4 p進曲線の関数体上での素数次数の中心単純代数の分岐構造は、正確にどうなっているか？
• RQ5 非分岐コホモロジー群H³_nr(K/X, ℤ/2ℤ(2))の消滅が、Kのu不変量にどの程度制限を加えるか？

主な発見

• 非2進的p進体上の曲線の関数体Kのu不変量は正確に8である。
• K上で9変数以上の任意の二次形式は非自明な零点を持つ。これは、境界の鋭さが確認されたことである。
• K上の任意の3重Pfister形式φと任意の2変数二次形式q₂に対して、f, a, b ∈ K*が存在し、fがq₂の値であり、かつφ = 〈1,f〉〈1,a〉〈1,b〉と書ける。
• K上の任意の3重Pfister形式φと任意の3変数二次形式q₃に対して、g, h ∈ K*が存在し、gがq₃の値であり、かつφ = 〈1,f〉〈1,g〉〈1,h〉と書ける。
• H³(K, μ₂)における記号の局所-大域原理が成り立つ：すべての離散付値vについてζ = α ∪ (h_v) がH³(K_v, μ₂)で成り立つならば、ある大域的h ∈ K*が存在してζ = α ∪ (h) と書ける。
• Kの任意の正則射影的モデルXに対して、非分岐コホモロジー群H³_nr(K/X, ℤ/2ℤ(2))は消える。これは証明において不可欠な要因である。