[論文レビュー] The ultraviolet infrared mixing problem on the noncommutative Moyal space

Dorothea Bahns|arXiv (Cornell University)|Dec 16, 2010

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 20被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、非可換Moyal空間上の量子場理論における紫外線-赤外線（UV-IR）混合が、ユークリッド的枠組みに限定されるのではなく、相互作用がMoyalねじれ畳み込み積によって定義されるハミルトニアン（ミンコフスキー的）設定でも生じることを示している。微局所解析を用いて、ハミルトニアン枠組みにおけるUV-IR混合のメカニズムが、ユークリッド設定とは根本的に異なることが明らかになり、双曲型量子場理論において以前に認識されていなかった種別の発散が存在することが判明した。

ABSTRACT

It is shown that the mixing of ultraviolet and infrared divergences in quantum field theory on Moyal space is not an artefact of the Euclidean framework, but occurs also in the Hamiltonian setting when the interaction is given in terms of the Moyal twisted convolution product. The mixing mechanism in both settings is examined from the point of view of microlocal analysis and it is shown that they are different from one another.

研究の動機と目的

• 非可換場理論のユークリッド的定式化で知られているUV-IR混合が、Moyal空間上のハミルトニアン（ミンコフスキー的）設定でも継続するかどうかを調査すること。
• 微局所解析を用いて、ユークリッド的枠組みとミンコフスキー的枠組みにおけるUV-IR混合のメカニズムを比較すること。
• 非可換場理論において、ユークリッド的枠組みとミンコフスキー的枠組みの間の直接的な対応関係が欠如していることにより、双曲型設定においてUV-IR混合が存在しないはずだと予想されるという仮定が無効になるかどうかを特定すること。
• ハミルトニアン枠組みにおけるUV-IR混合が、ユークリッド設定とは異なるメカニズムを通じて生じることを確立すること。これは、両者の間の単純な対応関係が欠如しているにもかかわらず成立する。

提案手法

• 研究は、特に分布の波面集合と特異的次数を用いた微局所解析を採用し、非可換場理論におけるフェ Feynman振幅の特異的構造を分析する。
• Moyal積を用いて相互作用を定義するハミルトニアン設定におけるUV-IR混合メカニズムを、歪みた畳み込み積と修正されたフェ Feynman規則に基づくユークリッド設定におけるものと比較する。
• 振幅の運動量空間表現を用い、特にGrosse-Wulkenhaar項の文脈で、スケーリング次数と補正項を用いて発散を分析する。
• 分布的技法、特に分布の拡張と射影作用素を用いて、双曲型枠組みにおける特異性と正則化を扱う。
• 特に自己エネルギーと頂点補正を含むフェ Feynman図に焦点を当て、ミンコフスキー的枠組みにおける発散の性質を隔離する。
• Moyalのねじれが相互作用頂点における役割を検討し、特にヘヴィサイド関数と遅延プロパゲーターの存在下での発散構造に与える影響を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ユークリッド的枠組みとミンコフスキー的枠組みの間の直接的なリンクが欠如しているにもかかわらず、Moyal空間上の量子場理論のハミルトニアン形式でもUV-IR混合が継続するか？
• RQ2 分布的特異性の観点から、ミンコフスキー的枠組みにおけるUV-IR混合のメカニズムは、ユークリッド枠組みとどのように異なるか？
• RQ3 ユークリッド的符号に起因するUV-IR混合は、非可換場理論のより根本的な性質に起因するものなのか、それともその符号に依存するのか？
• RQ4 Grosse-Wulkenhaar項によって、ミンコフスキー的枠組みにおけるUV-IR混合を回避できるのか、それとも別の非正則化可能なメカニズムを通じて現れるのか？
• RQ5 微局所解析、特に波面集合と特異的次数は、非可換場理論における発散の性質をどのように区別するか？

主な発見

• 相互作用がMoyalねじれ畳み込み積によって定義される場合であっても、Moyal空間上のハミルトニアン枠組みにおいてもUV-IR混合が生じることを示し、以前の推測（双曲型設定では存在しない可能性がある）を裏付けるものではない。
• 微局所解析による波面集合と特異的次数の分析から、ハミルトニアン枠組みにおけるUV-IR混合のメカニズムは、ユークリッド枠組みとは根本的に異なることが明らかになった。
• ミンコフスキー的枠組みでは、UV-IR混合がユークリッドの場合と同じ分布的特異性によって生じるのではなく、遅延プロパゲーターと非局所的相互作用の特異な相互作用によって生じる。
• ハミルトニアン形式におけるヘヴィサイド関数の存在と遅延プロパゲーターの構造により、特異性がMoyalのねじれによっても正則化されず、可換極限においても発散が抑制されない場合がある。
• 運動量空間における発散の表面的次数が非負（例：d=4ではゼロ）のままであることが示され、Grosse-Wulkenhaar項のような追加項がなければ、理論は正則化不可能であることが示された。
• 双曲型枠組みにおける正則化に必要な補正項は、ユークリッドの場合とは同等ではなく、ミンコフスキー的枠組みにおける分布の特異的次数に依存している。